在强加来流作用下二元系中枝晶生长的稳态解

研究了远场来流作用下二元系中的枝晶生长.当Schmidt数很大时,应用渐近分析方法得到枝晶稳态生长的渐近解,其温度场和浓度场的首级解、一级解均为相似性解,枝晶形状为存在细微波动的旋转抛物面.远场来流的强弱影响着枝晶生长的Peclet数的大小,进而影响着枝晶的尖端半径与生长速度.当过冷度一定时,在枝晶尖端或在枝晶前沿处的温度随着流场的增大而减小,而溶质浓度随着流场的增大而增大.

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D0I:10.13374/1.issnl00103.2008.06.010 第30卷第6期北京科技大学学报 Vol.30 No.6 2008年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun·2008 在强加来流作用下二元系中枝晶生长的稳态解李向明)陈明文)王自东) 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)北京科技大学材料科学与工程学院，北京100083 摘要研究了远场来流作用下二元系中的枝晶生长·当Schmid:数很大时，应用渐近分析方法得到枝晶稳态生长的渐近解，其温度场和浓度场的首级解、一级解均为相似性解，枝晶形状为存在细微波动的旋转抛物面·远场来流的强弱影响着枝晶生长的Pelt数的大小，进而影响着枝晶的尖端半径与生长速度.当过冷度一定时，在枝晶尖端或在枝晶前沿处的温度随着流场的增大而减小，而溶质浓度随着流场的增大而增大，关键词枝晶生长；远场来流：稳态解：二元系：渐近分析分类号TG111.4;0781 Steady solution of dendritic growth in a binary mixture with imposed flow LI Xiangming,CHEN Mingwen,WANG Zidong2) 1)School of Applied Science.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China 2)School of Materials Science and Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACI Dendritic growth in a binary mixture with imposed flow was investigated.When the Schmidt number was large.the asymptotic solution for the steady state was obtained by using the asymptotic analysis method.The zeroth-order and the first-order so- lutions are similar for the temperature and concentration fields.The shape of the dendrite is paraboloid of revolution on which there are small waves.The strength of external flow has a significant effect on the Peclet number of dendritic growth.the tip radius of den- drite and the tip growth velocity.For the given undercooling.the temperature at the dendritic tip or in front of the dendrite decreases with increasing flow,but the solute concentration increases. KEY WORDS dendritic growth:far field flow:stead solution;binary mixture:asymptotic analysis 在纯金属熔体或合金熔体凝固过程中，由于强最成熟的理论为微观可解性理论(MSC理论)，该理烈的非线性效应，尤其在凝固后期，都会存在枝晶生论强调表面张力各向异性的作用，但是该理论与实长现象，枝晶界面复杂细微的结构对固相产物中杂验数据很难一致，主要是因为M$C理论在枝晶边质分布有较深刻的影响，因此对枝晶生长的研究具缘只考虑热扩散的作用，熔体中还存在自然对流的有十分重大的意义，Ivantsov第1次对过冷熔体中作用，自然对流是枝晶生长环境中必然存在的现象，单个枝晶生长现象进行了理论分析)，他在假定表这是因为凝固导致了界面处潜热的释放，使得远离面张力为零和熔体没有流动后，得到了枝晶界面为枝晶尖端的过冷液体温度低于固体表面的温度，这旋转抛物面的相似性解，在Ivantsov解中，对于给样液体层次化后便产生流动，实验表明熔体对流对定的枝晶生长条件，枝晶生长的Peclet数就唯一确枝晶生长有着重要的影响[与].Bouissou和Ananth 定，这一理论数据与实验数据相符合[).Horvay与等在理论上也进行了研究2，-，他们对流场进行 Cahn推广了vantsov解，得到抛物柱面解和椭圆抛各种假设，得到了一些近似解，但这些解不是一致有物面解].20世纪80年代，对枝晶自由生长研究效的解，而且枝晶形状都为光滑的抛物面，界面上没有细微的枝状结构，这与枝晶生长的真实情况相不收稿日期：2007-03-02修回日期：2007-05-18 符，Xu认为枝晶生长的本质是一种波动的现象，他基金项目：国家重大基础研究资助项目(N。-G2000067200-1) 根据枝晶生长的实际情况，修正了MSC理论模型，作者简介：李向明(1980一)，男，硕士研究生：陈明文(1964一)，男，建立了界面波理论(FW)·对于枝晶的稳态生长，副教授，E mail:chenmw@sas~ustb-edu:cn Xu在考虑大Prandtl数的情形下，得到了纯金属熔

在强加来流作用下二元系中枝晶生长的稳态解李向明1）陈明文1）王自东2） 1）北京科技大学应用科学学院北京100083 2）北京科技大学材料科学与工程学院北京100083 摘要研究了远场来流作用下二元系中的枝晶生长．当 Schmidt 数很大时应用渐近分析方法得到枝晶稳态生长的渐近解其温度场和浓度场的首级解、一级解均为相似性解枝晶形状为存在细微波动的旋转抛物面．远场来流的强弱影响着枝晶生长的 Peclet 数的大小进而影响着枝晶的尖端半径与生长速度．当过冷度一定时在枝晶尖端或在枝晶前沿处的温度随着流场的增大而减小而溶质浓度随着流场的增大而增大．关键词枝晶生长；远场来流；稳态解；二元系；渐近分析分类号 TG111∙4；O781 Steady solution of dendritic growth in a binary mixture with imposed flow LI Xiangming 1）CHEN Mingwen 1）W A NG Zidong 2） 1） School of Applied ScienceUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China 2） School of Materials Science and EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT Dendritic growth in a binary mixture with imposed flow was investigated．When the Schmidt number was largethe asymptotic solution for the steady state was obtained by using the asymptotic analysis method．T he zeroth-order and the first-order solutions are similar for the temperature and concentration fields．T he shape of the dendrite is paraboloid of revolution on which there are small waves．T he strength of external flow has a significant effect on the Peclet number of dendritic growththe tip radius of dendrite and the tip growth velocity．For the given undercoolingthe temperature at the dendritic tip or in front of the dendrite decreases with increasing flowbut the solute concentration increases． KEY WORDS dendritic growth；far field flow；stead solution；binary mixture；asymptotic analysis 收稿日期：2007-03-02 修回日期：2007-05-18 基金项目：国家重大基础研究资助项目（No．G2000067206－1）作者简介：李向明（1980－）男硕士研究生；陈明文（1964－）男副教授E-mail：chenmw＠sas．ustb．edu．cn 在纯金属熔体或合金熔体凝固过程中由于强烈的非线性效应尤其在凝固后期都会存在枝晶生长现象．枝晶界面复杂细微的结构对固相产物中杂质分布有较深刻的影响因此对枝晶生长的研究具有十分重大的意义．Ivantsov 第1次对过冷熔体中单个枝晶生长现象进行了理论分析［1］他在假定表面张力为零和熔体没有流动后得到了枝晶界面为旋转抛物面的相似性解．在 Ivantsov 解中对于给定的枝晶生长条件枝晶生长的 Peclet 数就唯一确定这一理论数据与实验数据相符合［2］．Horvay 与 Cahn 推广了 Ivantsov 解得到抛物柱面解和椭圆抛物面解［3］．20世纪80年代对枝晶自由生长研究最成熟的理论为微观可解性理论（MSC 理论）该理论强调表面张力各向异性的作用．但是该理论与实验数据很难一致主要是因为 MSC 理论在枝晶边缘只考虑热扩散的作用熔体中还存在自然对流的作用自然对流是枝晶生长环境中必然存在的现象．这是因为凝固导致了界面处潜热的释放使得远离枝晶尖端的过冷液体温度低于固体表面的温度这样液体层次化后便产生流动．实验表明熔体对流对枝晶生长有着重要的影响［4－5］．Bouissou 和 Ananth 等在理论上也进行了研究［26－13］他们对流场进行各种假设得到了一些近似解但这些解不是一致有效的解而且枝晶形状都为光滑的抛物面界面上没有细微的枝状结构这与枝晶生长的真实情况相不符．Xu 认为枝晶生长的本质是一种波动的现象他根据枝晶生长的实际情况修正了 MSC 理论模型建立了界面波理论（IFW）．对于枝晶的稳态生长 Xu 在考虑大 Prandtl 数的情形下得到了纯金属熔第30卷第6期 2008年 6月北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．6 Jun．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．06．010

第6期李向明等：在强加来流作用下二元系中枝晶生长的稳态解 .653. 体中枝晶生长的定常渐近解4)，该理论与实验数据相一致，熔体中少量杂质的存在对枝晶生长过程有本文以V为速度尺度，。=号为长度尺度，着非常重要的影响，杂质在界面上的浓度变化对枝 C∞为浓度尺度，△H/(cpP)为温度尺度，对各物理量晶附近的热力学平衡状态产生影响，进而影响着枝分别进行量纲为1化处理，其中D为溶质扩散系晶的界面形状，本文研究二元熔体中远场来流对枝数，lD为溶质的扩散长度，△H为潜热，cp为熔体比晶生长的影响，得到模型的定常渐近解，热，P为熔体密度假定表面张力为各向同性，考虑三维轴对称的 1模型的建立枝晶生长情形（即各物理量对9的偏导数为零），为考虑二元系熔体中枝晶的稳态生长，枝晶沿着了方便，引入流函数： 1 a z轴的负方向以速度V匀速生长，如图1所示，图中=呢切.为了方便，可使坐标系以同样的速度知+平3” 1 随枝晶一块运动，在运动的抛物坐标系（ξ，1，P)中 aψ (3) 建立数学模型.令呢2+形 x=7听5ncos9 其中，u={u,v,0}为液相中对流速度，涡量为ω= y=呢nsin9 0,05) ”呢刘 ,S定义为涡量函数 =系华- 枝晶生长的量纲为1控制方程如下，热扩散方程：其中，%为待定的常数.可以选择这个坐标系原点股+0++册，聚》 2十的位置，使得枝晶的前缘满足 13”-呢切(5，) %(0)=1 (2) (4) 浓度扩散方程：对于单一枝晶的稳态生长，其液固界面形状可表示 +13G+10G=13(C,少为=八() 是+++7- 听知(5，) (5) 5■常数刀=常数动量方程： U. 严电9_上2-12典=-附(+)5(6) a2+a-13n 涡量方程：器+器開 25a(4,呢0_1a(单.5 图1在远场来流时抛物坐标系中枝晶的生长 2(,) 呢n(5,) (7) Fig.I Dendritic growth with external flow in a paraboloidal coordi- nate system 其中，1=，为液相量纲为1温度，枝晶表面的形状及其尖端生长速度均受到温度场、浓度场的影响，在凝固过程中熔体的温度场或为溶剂的凝固温度，入二是飞为液相热扩散系数，浓度场将会引起自然对流，这是由于温度或浓度的 CL=(C0为液相量绢为1浓度，C~为液相平均不同，造成热膨胀的差异或成分的不均匀，从而引起熔体密度的不同，这样在重力场中密度较小的熔体浓度，Sc一出为Schmid数，v为运动黏度系数.模 DL 将受到浮力的作用，如果熔体的粘滞力小于所受浮型的边界条件如下. 力时，熔体中就会产生对流，当然也可以在远场强远场条件：当门∞时，加外流或外力，强使熔体流动，本文只考虑强加外 2b呢学+（山，50 (8) 流对枝晶生长的影响，所以假定固液相密度相等，也 TL→T∞，CL→1 (9) 不考虑重力场作用，在远场强加一速度为U∞的来流，如图1所示. 其中，远场来流参数表示为，=(1十U∞)=1十

体中枝晶生长的定常渐近解［14］该理论与实验数据相一致．熔体中少量杂质的存在对枝晶生长过程有着非常重要的影响杂质在界面上的浓度变化对枝晶附近的热力学平衡状态产生影响进而影响着枝晶的界面形状．本文研究二元熔体中远场来流对枝晶生长的影响得到模型的定常渐近解． 1 模型的建立考虑二元系熔体中枝晶的稳态生长枝晶沿着 z 轴的负方向以速度 V 匀速生长如图1所示图中 r＝η2 0ξη．为了方便可使坐标系以同样的速度随枝晶一块运动在运动的抛物坐标系（ξηφ）中建立数学模型．令 x＝η2 0ξηcosφ y＝η2 0ξηsinφ z ＝ η2 0 2 （ξ2－η2）（1）其中η0 为待定的常数．可以选择这个坐标系原点的位置使得枝晶的前缘满足 ηS（0）＝1 （2）对于单一枝晶的稳态生长其液固界面形状可表示为 η＝ηS（ξ）．图1 在远场来流时抛物坐标系中枝晶的生长 Fig．1 Dendritic growth with external flow in a paraboloidal coordinate system 枝晶表面的形状及其尖端生长速度均受到温度场、浓度场的影响．在凝固过程中熔体的温度场或浓度场将会引起自然对流这是由于温度或浓度的不同造成热膨胀的差异或成分的不均匀从而引起熔体密度的不同这样在重力场中密度较小的熔体将受到浮力的作用如果熔体的粘滞力小于所受浮力时熔体中就会产生对流．当然也可以在远场强加外流或外力强使熔体流动．本文只考虑强加外流对枝晶生长的影响所以假定固液相密度相等也不考虑重力场作用．在远场强加一速度为 U∞的来流如图1所示．本文以 V 为速度尺度lD＝ DL V 为长度尺度 C∞为浓度尺度ΔH／（ cpρ）为温度尺度对各物理量分别进行量纲为1化处理．其中 DL 为溶质扩散系数lD 为溶质的扩散长度ΔH 为潜热cp 为熔体比热ρ为熔体密度．假定表面张力为各向同性考虑三维轴对称的枝晶生长情形（即各物理量对 φ的偏导数为零）为了方便引入流函数： u＝ 1 η4 0ξη ξ2＋η2 ∂ψ ∂η v＝－ 1 η4 0ξη ξ2＋η2 ∂ψ ∂ξ （3）其中u＝｛uv0｝为液相中对流速度涡量为 ω＝ 00 ζ η2 0ξη ζ定义为涡量函数．枝晶生长的量纲为1控制方程如下．热扩散方程： ∂2TL ∂ξ2 ＋ ∂2TL ∂η2 ＋ 1 ξ ∂TL ∂ξ ＋ 1 η ∂TL ∂η ＝ λ η2 0ξη ∂（ TLψ） ∂（ξη）（4）浓度扩散方程： ∂2CL ∂ξ2 ＋ ∂2CL ∂η2 ＋ 1 ξ ∂CL ∂ξ ＋ 1 η ∂CL ∂η ＝ 1 η2 0ξη ∂（CLψ） ∂（ξη）（5）动量方程： ∂2ψ ∂ξ2＋ ∂2ψ ∂η2－ 1 ξ ∂ψ ∂ξ － 1 η ∂ψ ∂η ＝－η4 0（ξ2＋η2）ζ（6）涡量方程： SC ∂2ζ ∂ξ2＋ ∂2ζ ∂η2－ 1 ξ ∂ζ ∂ξ － 1 η ∂ζ ∂η ＝ 2ζ η4 0ξ2η2 ∂（ψη2 0ξη） ∂（ξη）－ 1 η2 0ξη ∂（ψζ） ∂（ξη）（7）其中TL＝（ TL）D－ T M ΔH／（ cpρ）为液相量纲为1温度T M 为溶剂的凝固温度λ＝ DL κL κL 为液相热扩散系数 CL＝（CL）D C∞ 为液相量纲为1浓度C∞ 为液相平均浓度SC＝ υ DL 为 Schmidt 数υ为运动黏度系数．模型的边界条件如下．远场条件：当 η→∞时 ψ～ 1 2 λ0η4 0ξ2η2＋o（1）ζ→0 （8） TL→ T ∞CL→1 （9）其中远场来流参数表示为 λ0＝（1＋ U∞）＝ 1＋第6期李向明等：在强加来流作用下二元系中枝晶生长的稳态解 ·653·

U∞ V T ∞为远场量纲为1温度．正则条件：当 η→0时 TS→ O（1）CS→ O（1）（10）枝晶前缘的对称条件：当ξ＝0η＞1时 ψ＝ζ＝ ∂ψ ∂ξ ＝ ∂ψ ∂η ＝ ∂ζ ∂η ＝ ∂ζ ∂ξ ＝0 （11）枝晶的界面条件：由于在凝固过程中枝晶生长的界面形态及位置并未确定为一个自由边界问题．因此在对模型求解时需要确定界面函数 η＝ ηS（ξ）．如果假定在界面处满足局部热动力学平衡且枝晶沿着界面法线方向生长则在界面 η＝ηS（ξ）处可得到如下条件．温度连续性条件： T1＝ TS＝ TL （12） Gibbs－Thomson 条件： TS＝－ 2ΓK η2 0 － MCL （13）热平衡条件： ∂TL ∂η －η′S ∂TL ∂ξ ＋λη2 0（ξηS）′＝0 （14）溶质守恒条件：（1－k）η2 0（ξηS）′CL＋ ∂CL ∂η －η′S ∂CL ∂ξ ＝0 （15）质量守恒条件：－ η′S ∂ψ ∂η ＋ ∂ψ ∂ξ ＋η4 0ξηS（ξη′S＋ηS）＝0 （16）界面切向速度连续性条件： ∂ψ ∂η －η′S ∂ψ ∂ξ ＋η4 0ξηS（ξη′S－ξ）＝0 （17）其中Γ＝ lc lD 为表面张力参数lc 为毛细长度K 为界面平均曲率M＝－ mC∞ ΔH／（ cpρ） m 为平衡相图中液相线斜率k 为溶质分离系数． 2 模型求解实验表明：在枝晶生长的演化后期其前缘以稳定速度 V 长入熔体［3－4］．如 Ivantsov 所作假定表面张力系数为零求得二元系中有强加来流时枝晶生长的稳态解．为了简便可作如下变换： σ＝ η2 0λ0 2SC ξ2 τ＝ η2 0λ0 2SC η2 ．本文考虑 Schmidt 数 SC≫1的情形可选取小参数ε＝ 1 SC ．在坐标系（ξη）中因为界面函数为 ηS＝ O（1）则 τS（σ）＝ η2 0λ0ε 2 η2 S＝ O（ε）（18）令 ψ（στε）＝ 2 λ0ε2στ＋ψ（στε） ζ（στε）＝ε2λ2 0ζ（στε） TL（στε）＝ T ∞＋ 1 ε TL（στε） CL（στε）＝1＋ 1 ε CL（στε）（19）代入方程（4）～（7）后得到： σ ∂2TL ∂σ2 ＋τ ∂2TL ∂τ2 ＋ ∂TL ∂σ ＋ ∂TL ∂τ ＝ λ ε σ ∂TL ∂σ －τ ∂TL ∂τ ＋ λλ0ε 2 ∂（ TLψ） ∂（στ）（20） σ ∂2CL ∂σ2 ＋τ ∂2CL ∂τ2 ＋ ∂CL ∂σ ＋ ∂CL ∂τ ＝ 1 ε σ ∂CL ∂σ －τ ∂CL ∂τ ＋ λ0ε 2 ∂（CLψ） ∂（στ）（21） σ ∂2ψ ∂σ2＋τ ∂2ψ ∂τ2＝－（σ＋τ）ζ （22） σ ∂2ζ ∂σ2＋τ ∂2ζ ∂τ2＝σ ∂ζ ∂σ －τ ∂ζ ∂τ － λ0ζε2 2τσ τ ∂ψ ∂τ －σ ∂ψ ∂σ － λ0ε2 2 ∂（ψζ） ∂（στ）（23）模型的边界条件如下．远场条件：当 τ→∞时 ψ→0ζ→0 （24） TL→0CL→0 （25）对称条件：当 σ＝0η＞1时 ψ＝ζ＝ ∂ψ ∂τ ＝ ∂ζ ∂τ ＝0 （26）界面条件：当 τ＝τS（σ）时 TL＋ M CL＝－ε（ M＋ T ∞）（27） λ（στ′S＋τS）＋λ0 τS ∂TL ∂τ －στ′S ∂TL ∂σ ＝0（28）（1－k） CL（στ′S＋τS）＋ε（1－k）（στ′S＋τS）＋ ελ0 τS ∂CL ∂τ －στ′S ∂CL ∂σ ＝0 （29） ε2 τ′S ∂ψ ∂τ ＋ ∂ψ ∂σ ＋2 λ0－1 λ2 0 （τS＋στ′S）＝0 （30） ε2 τS ∂ψ ∂τ －στ′S ∂ψ ∂σ ＋2 λ0－1 λ2 0 στS（1－τ′S）＝0 （31） ·654· 北京科技大学学报第30卷

第6期李向明等：在强加来流作用下二元系中枝晶生长的稳态解 655. 由式(18)、(20)、(21)知，这是一个奇异边界问其中，待定参数有：题.Xu求得了关于流场满足方程(22)和(23)在条 Yo(e)>Yh1(e)>.… 件(24)、(30)和(31)下的一致有效的渐近解1]：月(e)>月(e)>… (39) g+2a0 克oa= 20十me垢[0(a,)-(]十… 8(e)>d1(e)>… 5=2。-g 把式(38)中各级解展成Sonine序列： lneo+e+… (32) n(可s9(o) =0 4n-2g5-2如0-1· e号ne话[l血t一lh0,o)+0,0-可+… CL= E.(s9(g (40) n=0 品(w-+… hm= s9(可) n=0 (33) s(o)为Sonine多项式，s9(o)f(n=0,1,2,…) 在所有的流场模型中，式(32)和(33)与实验数是完备的正交函数集.把式(39)和(40)代入式(20) 据对应得最好.又由界面波理论知：浓度场、温度场和(21)可求得方程的各级解. 的边界层与流场的边界层厚度相同，且它们的变化 2.1 温度场TL,与浓度场CL,的解主要发生在边界层里，因此可用流场内解(33)来确由(27)可知Y%(e)=B(e)=e,温度场、浓度场定浓度场与温度场的解.式(33)中={，由式(2) 方程变为： d2 Do.o 1 和(19可得到气9=。=位=0().界面函数入dDn.0=0 di2 (7 (41) d2E0.0+ 1七 1 可写为： dE00=0 (42) (o)=o十hs() (34) D0,n=E0,n=0（n=1,2,…) (43) 其中，待定函数s()满足条件|s<0,s(0)= 结合式(34)，对式(28)和(29)在t=0.0上进行 0. Taylor展开，保留首级项后有条件：一般地，0与e有关，对0、t0作如下展开： Do.0+ME0.0+Too+M=0 (44) 1o(e)=lo.0十o(e) 6o+号=0 (45) (35) o(e)=0,0十t0(e) E6o十+Ba-=0 (46) 其中，0.0= g呢.0 2 结合条件(25)可求得方程(44)~(45)满足方程 (45)和(46)的解： ho(e)=6o(e){o,1+eo,2十…} (36) 9 o(e)=do(e)10,1十0.2十} T1=Do.0-A0 e (47) 参数(e)<1,待定. 0 eb三设 CL,=E0,0= (48) TL(0,t,E)=TL(a,t,E) M h.0 -eb三1 T0.0 (37) (1-k)0,0 入0 CL(0,t,E)=CL(o,t,E) 对TL(o,T,e)、CL(o,t,e)和h(o)作如下渐其中a(=广d 近展开：由式(44)、(47)和(48)得到如下关系： TL=o(e)T.十1(e)TL,十… .0 Me三 T0.0 C=B(e)C,十月(e)CL,+… (38) .0 0,0 h=do(e)ho(o)+d(e)h1(o)十… (1-k)0,0

由式（18）、（20）、（21）知这是一个奇异边界问题．Xu 求得了关于流场满足方程（22）和（23）在条件（24）、（30）和（31）下的一致有效的渐近解［15］： ψout＝ 2σ ε 2 τ λ0 ＋ 2σ ε 2lnε λ0－1 λ 2 0 ［ψ∗0（στ）－Ξ2（τ）］＋… ζout＝ 2（λ0－1） lnε σ σ＋τ e －τ＋… （32） ψin＝ 2σ ε τ ＾ λ 2 0 － 2σ εlnε λ0－1 λ 2 0 ［τ ＾（lnτ ＾－lnτ ＾ 00）＋τ ＾ 00－τ ＾］＋… ζin＝ 2σ lnε （λ0－1）＋… （33）在所有的流场模型中式（32）和（33）与实验数据对应得最好．又由界面波理论知：浓度场、温度场的边界层与流场的边界层厚度相同且它们的变化主要发生在边界层里因此可用流场内解（33）来确定浓度场与温度场的解．式（33）中 τ ＾＝ τ ε 由式（2）和（19）可得到 τ ＾ S（0）＝τ ＾ 0＝ η2 0λ0 2 ＝ O（1）界面函数可写为： τ ＾ S（σ）＝τ ＾ 0＋h ＾ S（σ）（34）其中待定函数 h ＾ S （σ）满足条件｜h ＾ S｜≪τ ＾ 0h ＾ S （0）＝ 0．一般地η0 与ε有关对 η0、τ ＾ 0 作如下展开： η0（ε）＝η00＋η ～ 0（ε） τ ＾ 0（ε）＝τ ＾ 00＋τ ～ 0（ε）（35）其中τ ＾ 00＝ λ0η2 00 2 ． η ～ 0（ε）＝δ ＾ 0（ε）｛η01＋εη02＋…｝ τ ～ 0（ε）＝δ ＾ 0（ε）｛τ ＾ 01＋ετ ＾ 02＋…｝（36）参数 δ ＾ 0（ε）≪1待定．设 T ＾ L（στ ＾ε）＝ TL（στε） C ＾ L（στ ＾ε）＝CL（στε）（37）对 T ＾ L（στ ＾ε）、C ＾ L（στ ＾ε）和 h ＾ S （σ）作如下渐近展开： T ＾ L＝γ ＾ 0（ε） T ＾ L0＋γ ＾ 1（ε） T ＾ L1＋… C ＾ L＝β ＾ 0（ε） C ＾ L0＋β ＾ 1（ε） C ＾ L1＋… h ＾ S＝δ ＾ 0（ε） h ＾ 0（σ）＋δ ＾ 1（ε） h ＾ 1（σ）＋… （38）其中待定参数有： γ ＾ 0（ε）≫γ ＾ 1（ε）≫… β ＾ 0（ε）≫β ＾ 1（ε）≫… δ ＾ 0（ε）≫δ ＾ 1（ε）≫… （39）把式（38）中各级解展成 Sonine 序列： T ＾ L m ＝ ∑ ∞ n＝0 D ＾ mn（τ ＾） S （1） n （σ） C ＾ L m ＝ ∑ ∞ n＝0 E ＾ mn（τ ＾） S （1） n （σ） h ＾ m ＝ ∑ ∞ n＝0 h ＾ mnS （1） n （σ）（40） S （1） n （σ）为 Sonine 多项式｛S （1） n （σ）｝（ n＝012…）是完备的正交函数集．把式（39）和（40）代入式（20）和（21）可求得方程的各级解． 2∙1 温度场 T ＾ L0与浓度场 C ＾ L0的解由（27）可知 γ ＾ 0（ε）＝β ＾ 0（ε）＝ε温度场、浓度场方程变为： d 2D ＾ 00 dτ ＾2 ＋ 1 τ ＾＋ λ λ0 d D ＾ 00 dτ ＾＝0 （41） d 2E ＾ 00 dτ ＾2 ＋ 1 τ ＾＋ 1 λ0 d E ＾ 00 dτ ＾＝0 （42） D ＾ 0n＝ E ＾ 0n＝0 （ n＝12…）（43）结合式（34）对式（28）和（29）在 τ ＾＝τ ＾ 00上进行 Taylor 展开保留首级项后有条件： D ＾ 00＋ ME ＾ 00＋ T ＾ ∞＋ M＝0 （44） D ＾′00＋ λ λ0 ＝0 （45） E ＾′00＋（1＋ E ＾ 00） 1－k λ0 ＝0 （46）结合条件（25）可求得方程（44）～（45）满足方程（45）和（46）的解： T ＾ L0＝ D ＾ 00＝ λτ ＾ 00 λ0 e λτ ＾ 00 λ0 Ξ1 λτ ＾ λ0 （47） C ＾ L0＝ E ＾ 00＝ e τ ＾ 00 λ0 Ξ1 τ ＾ λ0 λ0 （1－k）τ ＾ 00 －e τ ＾ 00 λ0 Ξ1 τ ＾ 00 λ0 （48）其中Ξ1（τ）＝∫ ∞ 1 e －τu u d u．由式（44）、（47）和（48）得到如下关系： T ∞＝－ Me τ ＾ 00 λ0 Ξ1 τ ＾ 00 λ0 λ0 （1－k）τ ＾ 00 －e τ ＾ 00 λ0 Ξ1 τ ＾ 00 λ0 －第6期李向明等：在强加来流作用下二元系中枝晶生长的稳态解 ·655·

M－ λτ ＾ 00 λ0 e λτ ＾ 00 λ0 Ξ1 λτ ＾ 00 λ0 （49）如果不考虑流场即 λ0＝1在纯金属熔体中（ M＝ 0λ＝1）可得到如下解： T ∞＝－τ ＾ 00e τ ＾ 00Ξ1（τ ＾ 00） TL0＝ T ∞＋τ ＾ 00e τ ＾ 00Ξ1（τ ＾）（50）上式为 Ivantsov 得到的定常针晶解［1］式（47）和（48）为二元系中有强加来流时枝晶生长的定常首级解称式（47）和（48）为推广的 Ivantsov 解． 2∙2 温度场 T ＾ L1与浓度场 C ＾ L1的解同样由（27）有 γ ＾ 1（ε）＝β ＾ 1（ε）＝ ε lnε δ ＾ 0（ε）＝ 1 lnε 一级温度场与浓度场方程为： τ ＾d 2D ＾ 10 dτ ＾2 ＋ 1＋ λτ ＾ λ0 d D ＾ 10 dτ ＾＋ λ2τ ＾ 00（λ0－1） λ2 0τ ＾ · e λ（τ ＾ 00－τ ＾） λ0 ［τ ＾（lnτ ＾－lnτ ＾ 00）＋τ ＾ 00－τ ＾］＝0 （51） τ ＾d 2E ＾ 10 dτ ＾2 ＋ 1＋ τ ＾ λ0 dE ＾ 10 dτ ＾＋ λ0－1 λ0τ ＾ e τ ＾ 00－τ ＾ λ0 λ0 （1－k）τ ＾ 00 －e τ ＾ 00 λ0 Ξ1 τ ＾ 00 λ0 · ［τ ＾（lnτ ＾－lnτ ＾ 00）＋τ ＾ 00－τ ＾］＝0 （52） D ＾ 1n＝ E ＾ 1n＝h ＾ 1n＝0 （ n＝12…）（53）上述方程的通解为： D ＾ 10＝I10Ξ1 λτ ＾ λ0 ＋ R ＾ 10（τ ＾）（54） E ＾ 10＝J10Ξ1 τ ＾ λ0 ＋ M ＾ 10（τ ＾）（55）其中 R ＾ 10（τ ＾）＝ λ2τ ＾ 00（λ0－1） λ2 0 e λτ ＾ 00 λ0 · π0e － λτ ＾ λ0＋π1Ξ1 λτ ＾ λ0 ＋τ ＾ 00Ξ（2） λτ ＾ λ0 π0（τ ＾）＝ λ0 λ （lnτ ＾－lnτ ＾ 00－2） π1（τ ＾）＝ λ0 λ ＋τ ＾ 00（lnτ ＾－lnτ ＾ 00＋2） Ξ（2）（τ ＾）＝∫ ∞ τ ＾ Ξ1（ t） t d t． M ＾ 10（τ ＾）与 R ＾ 10（τ ＾）形式相似即当 λ＝1时 M ＾ 10（τ ＾）＝ λ0 τ ＾ 00 R ＾ 10（τ ＾） λ0 （1－k）τ ＾ 00 －e τ ＾ 00 λ0 Ξ1 τ ＾ 00 λ0 ．当 τ ＾＝τ ＾ 00时 D ＾ 10＋ ME ＾ 10＋（τ ＾ 01＋h ＾ 0） d D ＾ 00 dτ ＾＋ M d E ＾ 00 dτ ＾＝0 （56） d D ＾ 10 dτ ＾＋（τ ＾ 01＋h ＾ 0） d 2D ＾ 00 dτ ＾2 ＋ 1 τ ＾ 00 d D ＾ 00 dτ ＾＋ λ λ0τ ＾ 00 ＋ λσ λ0τ ＾ 00 h ＾′0＝0 （57） τ ＾ 00 d E ＾ 10 dτ ＾＋τ ＾ 00 1－k λ0 E ＾ 10＋（τ ＾ 01＋h ＾ 0＋ σh ＾′0） 1－k λ0 （ E ＾ 00＋1）＋ τ ＾ 00 1－k λ0 ＋1 （τ ＾ 01＋ h ＾ 0） E ＾′00＋τ ＾ 00（τ ＾ 01＋h ＾ 0） E ＾″00＝0 （58）从上面条件可知 h ＾ 00只能为常数结合式（34）得到 h ＾ 00＝0剩下的常数 I10与 J10、τ ＾ 01可由上述三个条件唯一确定： τ ＾ 01＝ λ0 λ MM ＾ 10 λ0η2 00 2 e η 2 00 2 Ξ1 η2 00 2 2 （1－k）η2 00 －e η 2 00 2 ＋ MM ＾ 10 λ0η2 00 2 ＋ R ＾ 10 λ0η2 00 2 1－ 1＋ λη2 00 2 e λη 2 00 2 Ξ1 λη2 00 2 ＋ 2 λη2 00 MΞ1 η2 00 2 2 （1－k）η2 00 －e η 2 00 2 Ξ1 η2 00 2 － M k＋ 2 η2 00 2 λη2 00 e η 2 00 2 Ξ1 η2 00 2 （1－k） 2 （1－k）η2 00 －e η 2 00 2 Ξ1 η2 00 2 2 I10＝ λτ ＾ 01 λ0 1＋ λη2 00 2 e λη 2 00 2 ·656· 北京科技大学学报第30卷

第6期李向明等：在强加来流作用下二元系中枝晶生长的稳态解 .657. 0 20t0,1 e 2 M1.0 2% 2 J1,0= (1-k)6.0 e 22 2 (1-k)6.0 e 2.3温度场与浓度场分布及分析面上或在枝晶前沿处的溶质浓度随着流场的增大而结合式(19)和(37)，在抛物坐标系（ξ，）中，原增大，流场的存在促使界面处排出更多的溶质。温度场与浓度场的渐近解可表示为：。0_了λ呢.0 1.0020 T(,n.)=T+.三 2 e 2 1.0015 λ听.07 1.0010 1,=2 2 1.0005 1=3 (59) 入=1 1.0000L 6 2 n C(5,1,e)=1+ 2 图3浓度C1与7的关系图 (1-k)6.0 e 2 Fig.3 Relationship between concentration CL and 2 +i1. 2 若λ=1，M=0,式(59)即为纯熔体的渐近解 (60) 由式(59)和(60)看出，在Sc→∞时，浓度场与温度上述解为第2节模型的近似渐近解.图2与场有相似性解.界面形状函数为：图3为温度场与浓度场的空间分布图.熔体的温度 5(o)=o+1t 和浓度均随着远离枝晶而逐渐减小，图中三条曲线 (61) 分别对应于0=1、=2和=3的情形.其中参在坐标系（ξ，）中表示为：数分别取为：0.0=0.1，入=0.001，M=0.04,k= C5) 0.9,e=0.001.由图2可知：当=1时，即没有流 1(5=1十0 Ine (62) 动时，在界面附近的每一处的温度都比存在流动时高；而强流参数，=2时的温度又比，=3时的高. 其中，qne) 为高级小量，该项与函数f()需在这表明在枝晶尖端的界面上或在枝晶前沿处的温度高级解中确定随着流场的增大而减小. 如果熔体中没有流动，Ivantsov定常解表明枝 -0.040095F 晶界面为一个旋转抛物面八()=1，而在远场强加 -0.040100 速度为U∞的来流时，枝晶界面不再完全的抛物面， 0.040105 而是在界面上有细微的波动结构.从式(49)知，0,0 0.040110 入=1 由T∞与C∞唯一确定，则0,0即可确定，定义 -0.040115 1,=2 Peclet数为枝晶尖端半径lp与溶质扩散长度的比， -0.040120 1,=3 0.040125 即B一名-兴由式(62)可得出枝品尖端半径0 0.040130 2 4 6 10 =听lo,所以 R.=()=爱0+1+ 1 AolneIns (63) 图2温度TL与1的关系 Fig.2 Relationship between temperature TLand n 式中，，的存在说明远场来流的强弱影响着枝晶生长的P。的大小，结合0,1的表达式，由式(63)易由图3所知：当没有流动时，枝晶界面附近的每知，对于一定的过冷度与初始的溶质浓度，枝晶生长一处浓度都比存在流动时小；而强流参数，=2时的Peclet数随着g的增大而增大，当Scoo时P。的浓度又比，=3时的小.这说明在枝晶尖端的界趋于常数i,o,此时枝晶生长的Peclet数的大小由

J10＝ e η 2 00 2 M ＾ 10 η2 00 2λ0 2 （1－k）η2 00 －e η 2 00 2 Ξ1 η2 00 2 ＋ k＋ 2 η2 00 2λ0τ ＾ 01 （1－k）η2 00 e η 2 00 2 2 （1－k）η2 00 －e η 2 00 2 Ξ1 η2 00 2 2 ． 2∙3 温度场与浓度场分布及分析结合式（19）和（37）在抛物坐标系（ξη）中原温度场与浓度场的渐近解可表示为： TL（ξηε）＝ T ∞＋ λη2 00 2 e λη 2 00 2 Ξ1 λη2 00η2 2 ＋ 1 lnε I10Ξ1 λη2 00η2 2 ＋ R ＾ 10 λ0η2 00η2 2 ＋… （59） CL（ξηε）＝1＋ e η 2 00 2 Ξ1 η2 00η2 2 2 （1－k）η2 00 －e η 2 00 2 Ξ1 η2 00 2 ＋ 1 lnε J10Ξ1 η2 00η2 2 ＋ M ＾ 10 λ0η2 00η2 2 ＋… （60）上述解为第2节模型的近似渐近解．图2与图3为温度场与浓度场的空间分布图．熔体的温度和浓度均随着远离枝晶而逐渐减小图中三条曲线分别对应于 λ0＝1、λ0＝2和 λ0＝3的情形．其中参数分别取为：η00＝0∙1λ＝0∙001M＝0∙04k＝ 0∙9ε＝0∙001．由图2可知：当 λ0＝1时即没有流动时在界面附近的每一处的温度都比存在流动时高；而强流参数 λ0＝2时的温度又比 λ0＝3时的高．这表明在枝晶尖端的界面上或在枝晶前沿处的温度随着流场的增大而减小．图2 温度 T L 与 η的关系 Fig．2 Relationship between temperature T L and η 由图3所知：当没有流动时枝晶界面附近的每一处浓度都比存在流动时小；而强流参数 λ0＝2时的浓度又比 λ0＝3时的小．这说明在枝晶尖端的界面上或在枝晶前沿处的溶质浓度随着流场的增大而增大流场的存在促使界面处排出更多的溶质．图3 浓度 CL 与 η的关系图 Fig．3 Relationship between concentration CL and η 若 λ＝1M＝0式（59）即为纯熔体的渐近解．由式（59）和（60）看出在 SC→∞时浓度场与温度场有相似性解．界面形状函数为： τ ＾ S（σ）＝τ ＾ 00＋ 1 lnε τ ＾ 01＋… （61）在坐标系（ξη）中表示为： ηS（ξ）＝1＋o f （ξ） lnε （62）其中o f （ξ） lnε 为高级小量该项与函数 f （ξ）需在高级解中确定．如果熔体中没有流动Ivantsov 定常解表明枝晶界面为一个旋转抛物面 ηS（ξ）＝1而在远场强加速度为 U∞的来流时枝晶界面不再完全的抛物面而是在界面上有细微的波动结构．从式（49）知τ ＾ 00 由 T ∞ 与 C∞ 唯一确定则 η00即可确定．定义 Peclet 数为枝晶尖端半径 lp 与溶质扩散长度的比即 Pe＝ lρ lD ＝ lρV κD ．由式（62）可得出枝晶尖端半径 lρ ＝η2 0lD所以 Pe＝η2 0（ε）＝η2 00＋ 2τ ＾ 01 λ0lnε ＋o 1 lnε （63）式中λ0 的存在说明远场来流的强弱影响着枝晶生长的 Pe 的大小．结合 τ ＾ 01的表达式由式（63）易知对于一定的过冷度与初始的溶质浓度枝晶生长的 Peclet 数随着 λ0 的增大而增大．当 SC→∞时 Pe 趋于常数 η2 00此时枝晶生长的 Peclet 数的大小由第6期李向明等：在强加来流作用下二元系中枝晶生长的稳态解 ·657·

.658 北京科技大学学报第30卷过冷度|T©|与初始液相浓度决定.对于纯熔体中 [3]Horvay G,Cahn J W.Dendritic and spheroidal growth.Acta 枝晶的生长，当Sc→oo时，枝晶生长的Peclet数与 Metall,1961,9:695 [4]Emsellem V,Tabeling P.Experimental study of dendritic growth Ivantsov结果相一致： with an external flow.JCryst Growth,1995.156:285 3结论 [5]Emsellem V,Tabeling P.On the role of convection in free den- dritic growth:experimental measurement of the concentration 研究了二元系中枝晶在远场来流作用下的定常 field.JCryst Grotth,1996,166:251 生长，通过应用渐近分析方法获得了温度场、浓度场 [6]Benamar M.Bouissou P.Pelce P.An exact solution for the shape 一致有效的渐近解.在来流作用下枝晶界面形状已 of a erystal growing in a forced flow.JCryst Growth.1988.92: 91 不再是完全的旋转抛物面，而是界面上有细微波动 [7]Ananth R,Gill W N.Self-consistent theory of dendritic growth 的近似抛物面，这些细微波动的具体形态还需在进 with convection.JCryst Growth.1991.108:173 一步求解中得到， [8]Levin P.Quasi-steady "state modeling of dendritic growth.Phys 远场来流的强弱影响枝晶生长的Peclet数，进 Let A,2003.310:383 而影响着枝晶的尖端半径与生长速度.当Sc→∞ [9]Saville D A,Beaghton P J.Growth of needle-shaped crystals in the presence of convection.Phys Rev A.1988.37:3423 时，温度场与浓度场存在相似性解，枝晶生长的 [10]Huang S C.Glicksman M E.Fundamentals of dendritic solidifi- Peclet数为常数.在求解过程中假定表面张力系数 cation:(i)steady-state tip growth:(ii)development of side- 为零，枝晶的尖端半径与生长速度仍没有被唯一确 branch structure.Acta Metall,1981,29:701 定，对于有强加来流的枝晶生长速度的选择性问 [11]Lee Y W.Pattern Formation and Convective Heat Transfer 题，按照界面波理论，需要考虑表面张力系数，在对 during Dendritic Crystal Growth [Dissertation ]New York: Rensselaer Polytechnic Institute,1991 枝晶稳定性分析中确定， [12]Glicksman M E.Lupulescu A 0.Dendritic crystal growth in 参考文献 pure materials.J Cryst Growth.2004.264:541. [13]Lee Y W,Gill W,Ananth R.Forced convection heat transfer [1]Ivantsov G P.Temperature field around a spheroidal.cylindrical during dendritic crystal growth:local solution of Navier Stokes and acicular crystal growing in supercooled melt.Dokl Akad equations.Chem Eng Commun,1992.116:193 Nauk USSR,1947,58(4):567 [14]Xu J.Dynamical Theory of Dendritie Growth in Convective [2]Bouissou P.Pelce P.Effect of a forced flow on dendritic growth Flow.Berlin:Springer,2004 Phys Rev A,1989,40:6673

过冷度｜T ∞｜与初始液相浓度决定．对于纯熔体中枝晶的生长当 SC→∞时枝晶生长的 Peclet 数与 Ivantsov 结果相一致． 3 结论研究了二元系中枝晶在远场来流作用下的定常生长通过应用渐近分析方法获得了温度场、浓度场一致有效的渐近解．在来流作用下枝晶界面形状已不再是完全的旋转抛物面而是界面上有细微波动的近似抛物面这些细微波动的具体形态还需在进一步求解中得到．远场来流的强弱影响枝晶生长的 Peclet 数进而影响着枝晶的尖端半径与生长速度．当 SC→∞ 时温度场与浓度场存在相似性解枝晶生长的 Peclet 数为常数．在求解过程中假定表面张力系数为零枝晶的尖端半径与生长速度仍没有被唯一确定．对于有强加来流的枝晶生长速度的选择性问题按照界面波理论需要考虑表面张力系数在对枝晶稳定性分析中确定．参考文献［1］ Ivantsov G P．Temperature field around a spheroidalcylindrical and acicular crystal growing in supercooled melt． Dokl Akad Nauk USSR194758（4）：567 ［2］ Bouissou PPelce P．Effect of a forced flow on dendritic growth． Phys Rev A198940：6673 ［3］ Horvay GCahn J W．Dendritic and spheroidal growth． Acta Metall19619：695 ［4］ Emsellem VTabeling P．Experimental study of dendritic growth with an external flow．J Cryst Growth1995156：285 ［5］ Emsellem VTabeling P．On the role of convection in free dendritic growth：experimental measurement of the concentration field．J Cryst Growth1996166：251 ［6］ Benamar MBouissou PPelce P．An exact solution for the shape of a crystal growing in a forced flow．J Cryst Growth198892： 97 ［7］ Ananth RGill W N．Self-consistent theory of dendritic growth with convection．J Cryst Growth1991108：173 ［8］ Levin P．Quas-i steady-state modeling of dendritic growth．Phys Lett A2003310：383 ［9］ Saville D ABeaghton P J．Growth of needle-shaped crystals in the presence of convection．Phys Rev A198837：3423 ［10］ Huang S CGlicksman M E．Fundamentals of dendritic solidification：（i） steady-state tip growth；（ii） development of sidebranch structure．Acta Metall198129：701 ［11］ Lee Y W．Pattern Formation and Convective Heat T ransfer during Dendritic Crystal Growth ［Dissertation ］．New York： Rensselaer Polytechnic Institute1991 ［12］ Glicksman M ELupulescu A O．Dendritic crystal growth in pure materials．J Cryst Growth2004264：541．［13］ Lee Y WGill WAnanth R．Forced convection heat transfer during dendritic crystal growth：local solution of Navier-Stokes equations．Chem Eng Commun1992116：193 ［14］ Xu J J．Dynamical Theory of Dendritic Growth in Convective Flow．Berlin：Springer2004 ·658· 北京科技大学学报第30卷

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