一般线性模型下的线性充分性.pdf_大学文库

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1995.05.017 第17卷第5期北京科技大学学报 Vol.17 No.5 199510 Journal of University of Science and Technology Beijing 0t1995 一般线性模型下的线性充分性赵立英北京科技大学数力系，北京100083 摘要讨论一般线性模型{八邛，D}下的线性充分性和最小线性充分性，得到相应的刻划定理，关键词线性模型，线性估计，线性充分性中图分类号0212.1 Linear Sufficience in a General Linear Model Zhao Liying Department of Mathematics and Mechanics,USTB,Beiing 100083,PRC ABSTRACT Linear sufficience and Minimum linear sufficience are dealt with in a gen- eral linear model.The corresponding portrayal theorem is get. KEY WORDS linear model,linear estimation,linear sufficience 线性充分性的概念由Baksalary J K和Kala R于1981年首次提出，并给出了在Gauss-- Markov模型下，回归系数的线性估计量是线性充分统计量的一个充要条件.后来Drygas Hi2), Baksalary J K和kala R1就该问题继续进行了深人研究，他们的讨论都是针对无约束的 Gauss一Markov模型进行的.鹿长余[，张林t)进一步探讨了带线性约束的Gauss-Markov 模型下的线性充分性，给出了一些刻划定理.本文讨论一般线性模型下的线性充分性与最小线性充分性，所讨论的模型概括了统计实践中提出的更加广泛的一类问题· 文中用到的记号其意义如下： Ey Vary分别记随机向量y的均值向量与方差一协方差阵，rkX,trX,X,X,u(X) N(X)分别记X的秩，迹，广义逆，Moore-Penrose逆，列空间{y:y=XB,B∈R}与化零子空间{B:XB=0,B∈X}.X记适合X'X·=0且具有最大秩的矩阵，从而4(X) =N(X),Q.=I-P。P=XX+.记M三{y,XB,D},其中y是n维可观测向量，X是 n×p已知阵，B是p维未知参数向量，Ey=XB,VaryeD,D={:V-∑，y,元，∈R, V,,V,是已知非负定n×n阵，，…，元，是未知乘子，这时模型称为一般线性模型，为行文简洁，以下不妨假定V,V,…,V,是线性独立的，即dim{V:V=V,+…+x,V, a,eR,r=1,2,,t=t. 1994-10-12收稿第一作者女30岁硕士

第卷第期北京姚年月科技大学学报，心卯一般线性模型下的线性充分性赵立英北京科技大学数力系，北京。刀摘要关键词讨论一般线性模型夕，邓，下的线性充分性和最小线性充分性，得到相应的刻划定理线性模型，线性估计，线性充分性中图分类号，，，，，线性充分性的概念由和于年首次提出，并给出了在一模型下，回归系数的线性估计量是线性充分统计量的一个充要条件后来仃，和【’ 就该问题继续进行了深人研究，他们的讨论都是针对无约束的一模型进行的鹿长余，张林 ’ 进一步探讨了带线性约束的一模型下的线性充分性，给出了一些刻划定理本文讨论一般线性模型下的线性充分性与最小线性充分性，所讨论的模型概括了统计实践中提出的更加广泛的一类问题文中用到的记号其意义如下分别记随机向量的均值向量与方差 — 协方差阵，，，一，十，川幻刀分别记的秩，迹，广义逆，一逆，列空间刀，刀任尺与化零子空间户那，口任尸 ‘ 记适合 ‘ 一。且具有最大秩的矩阵，从而土 ‘ ，二一一，二记会夕，刀，，其中是。维可观测向量，是儿 ‘ 已知阵，刀是维未知参数向量，一那，夕任，二一艺又，叭，凡任，万， … ，是已知非负定阵，只， … ，又，是未知乘子，这时模型称为一般线性模型为行文简洁，以下不妨假定，牲， … ，是线性独立的，即伊一，，十 … ，从， “ ，，，， ” ’ ，望辫一一收稿第一作者女岁硕士 DOI ：10．13374／j ．issn1001—53x．1995．05．017

北京科技大学学报年线性充分统计量定义在一般线性模型夕，那，下，统计量是一 ” 。阵称那的最佳线性无偏估计，若对丫咋，是方在，那，叫下的最佳线性无偏估计定义在一般线性模型夕，那，下，统计量称为关于那是线性充分的，若存在矩阵使是那的最佳线性无偏估计定义非负定阵，称为中最大元，如果丫咋均有风均二风容易看出中最大元一定存在，，十 … 十就是一个刻划关于那的线性充分统计量前，先建立几个引理引理在一般线性模型，口，下，是中最大元， ’ ，是任一对称阵使得召二料幻，有川今川’ 井刀，以幻以 ’ 孔幻，共 ‘ 井幻一 ’ ’ 证明 ’ 且风幻仁风，故哟，从而 ’ 共 ’ 二，二 ’ ’ ，说明 ’ 井与井的取法无关，于是 ’ 共二 ’ 君由于儿对蕊人君 ’ ，儿 ‘ 盯人 ‘ 井，而拜 ‘ 井幻拜今显然成立，所以拜 ’ 风’ 井幻的第个结论及，从此结论很容易得出引理在一般线性模型，郑，下，是中最大元，令 ’ ，是任一对称阵使得风二风幻，则下面条件等价【归几 ·，土 ‘ ， ‘ ’ 井土沈上卜拜，洲 ‘ 拼上拜幻自一洲土一，土 … 工仁 … 风叭且一从土卜，二十嵘矛拌叭上二拜 … ，土引理存在矩阵适合，风 ’ 二风幻的充要条件是二 ’ 刀 ’ ，其中，是已知阵且召 ’ 拜，，， ‘ 使得拜乃拜引理是令今引理笋。引理引理对线性模型，那，川，设 ’ 为可估函数刀的一个无偏估计，对零的任一个无偏估计 ’ ，总有 ’ 夕， ‘力一 ‘ 刀则 ’ 在一般线性模型下，那的最佳线性无偏估计存在的充要条件是自尸如果料自拜，则。二，。骨拼归蛛」一一哟笋饭二拜证明 “ 劝 ” 显然 “ 仁丫归，几详 ‘ ， “ 风芳二 ‘ 引理，有蛛到二 · ，一 ‘ ，，一 ‘ 弓理 “ ， ’ 尸、叭万归又知瓜马

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