一般线性模型下的线性充分性

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1995.05.017 第17卷第5期 北京科技大学学报 Vol.17 No.5 199510 Journal of University of Science and Technology Beijing 0t1995 一般线性模型下的线性充分性 赵立英 北京科技大学数力系，北京100083 摘要讨论一般线性模型{八邛，D}下的线性充分性和最小线性充分性，得到相应的刻划定理， 关键词线性模型，线性估计，线性充分性 中图分类号0212.1 Linear Sufficience in a General Linear Model Zhao Liying Department of Mathematics and Mechanics,USTB,Beiing 100083,PRC ABSTRACT Linear sufficience and Minimum linear sufficience are dealt with in a gen- eral linear model.The corresponding portrayal theorem is get. KEY WORDS linear model,linear estimation,linear sufficience 线性充分性的概念由Baksalary J K和Kala R于1981年首次提出，并给出了在Gauss-- Markov模型下，回归系数的线性估计量是线性充分统计量的一个充要条件.后来Drygas Hi2), Baksalary J K和kala R1就该问题继续进行了深人研究，他们的讨论都是针对无约束的 Gauss一Markov模型进行的.鹿长余[，张林t)进一步探讨了带线性约束的Gauss-Markov 模型下的线性充分性，给出了一些刻划定理.本文讨论一般线性模型下的线性充分性与最小 线性充分性，所讨论的模型概括了统计实践中提出的更加广泛的一类问题· 文中用到的记号其意义如下： Ey Vary分别记随机向量y的均值向量与方差一协方差阵，rkX,trX,X,X,u(X) N(X)分别记X的秩，迹，广义逆，Moore-Penrose逆，列空间{y:y=XB,B∈R}与化 零子空间{B:XB=0,B∈X}.X记适合X'X·=0且具有最大秩的矩阵，从而4(X) =N(X),Q.=I-P。P=XX+.记M三{y,XB,D},其中y是n维可观测向量，X是 n×p已知阵，B是p维未知参数向量，Ey=XB,VaryeD,D={:V-∑，y,元，∈R, V,,V,是已知非负定n×n阵，，…，元，是未知乘子，这时模型称为一般线性模型， 为行文简洁，以下不妨假定V,V,…,V,是线性独立的，即dim{V:V=V,+…+x,V, a,eR,r=1,2,,t=t. 1994-10-12收稿第一作者女30岁硕士

第 卷 第 期 北 京 姚 年 月 科 技 大 学 学 报 ， 心 卯 一般线性模型 下 的线性充分性 赵立 英 北 京科 技 大学 数力 系 ， 北 京 。 刀 摘要 关键词 讨论一般线 性 模 型 夕 ， 邓 ， 下 的线性 充 分性 和 最 小 线性充分性 ， 得到相应 的刻划定理 线性模型 ， 线性 估计 ， 线性 充 分性 中图分类号 ， ， ， ， ， 线性 充分性 的概 念 由 和 于 年首次提 出 ， 并 给 出了在 一 模 型 下 ， 回 归系数 的线性 估计量是线性充分统计量 的一个充要条件 后来 仃 ， 和 【’ 就 该 问题 继 续 进 行 了 深 人 研 究 ， 他 们 的讨 论 都 是 针 对无 约 束 的 一 模 型 进行 的 鹿 长余 ， 张林 ’ 进一 步 探 讨 了带线性 约束的 一 模型下 的线性 充 分 性 ， 给 出 了一 些 刻划定理 本 文讨论一 般 线性模 型下 的线性充分性 与最小 线性充分性 ， 所讨论 的模 型概 括 了统计 实践 中提 出的更加 广泛 的一类 问题 文 中用到 的记号 其意 义 如下 分别 记 随机 向量 的均值 向量 与方 差 — 协方 差阵 ， ， ， 一 ， 十 ， 川幻 刀 分 别 记 的 秩 ， 迹 ， 广 义 逆 ， 一 逆 ， 列 空 间 刀 ， 刀任尺 与 化 零 子 空 间 户那 ， 口任尸 ‘ 记 适 合 ‘ 一 。 且 具 有 最 大 秩 的矩 阵 ， 从 而 土 ‘ ， 二 一 一 ， 二 记 会 夕 ， 刀 ， ， 其 中 是 。 维 可 观 测 向量 ， 是 儿 ‘ 已 知 阵 ， 刀 是 维 未 知 参 数 向 量 ， 一 那 ， 夕任 ， 二 一 艺又 ， 叭 ， 凡任 ， 万 ， … ， 是 已 知 非 负 定 阵 ， 只 ， … ， 又 ， 是 未 知 乘 子 ， 这 时模 型 称 为一 般 线性 模 型 为行 文 简 洁 ， 以 下 不 妨 假 定 ， 牲 ， … ， 是 线性 独立 的 ， 即 伊 一 ， ，十 … ，从 ， “ ， ， ， ， ” ’ ， 望辫 一 一 收稿 第一 作者 女 岁 硕 士 DOI ：10．13374／j ．issn1001—53x．1995．05．017

·482· 北京科技大学学报 1995年No.5 1线性充分统计量 定义1在一般线性模型{y,XB,D}下，统计量Py(P是一n×n阵)称XB的最佳 线性无偏估计，若对廿VeD,Py是XB在{y,XB,V}下的最佳线性无偏估计， 定义2在一般线性模型{y,XB,D}下，统计量Fy称为关于XB是线性充分的， 若存在矩阵B使BFy是XB的最佳线性无偏估计， 定义3非负定阵V.(∈D),称为D中最大元，如果廿VeD均有u(Su(W). 容易看出D中最大元一定存在，V,+V,+…+V,就是一个· 刻划关于XB的线性充分统计量前，先建立几个引理， 引理1在一般线性模型{y,XB,D}下，V,是D中最大元，T.=V.+XUX,U是 任一对称阵使得μ(T)=4(V,:X),有(1)4(X)=u(X'T,X),u(X)=u(X(XT,)X): (2)X'T.X(XT:XX=X. 证明：T.=V.+XUX'且(X)C(T),故X=(V.+XUX)A,从而XT,X=X'T.T.A =XA=A'T'A,说明XT.X与T:的取法无关，于是XT,X=X'TX.由于rkX =rkT.T时X≤rk(T)X=rkX'T时X=rkXT,X,而4(XT.)二4(X)显然成立，所以(X) =4(XT:).(1)的第2个结论及(2)，从此结论很容易得出， 引理2在一般线性模型{y,XB,D}下，V.是D中最大元，令T.=V.+XUX,U 是任一对称阵使得(T)=4(V,),则下面条件等价I: {P,x}≠Φ (1) r=l XT.(V,X1…y,XL)=0 (2) (V,X⊥：VXL)E4(y,X⊥) (3) (X)∩u(y,X1VX上)={0} (4) N(X:VXVX)CN(X:0::0) (5) 4(VXVXI)=μ(V,+…+V)X) (6) 4(V,X上)Su(y,+V+…+V)X⊥) (7) 引理3存在矩阵A适合AX=K,u(TA')Su(X)的充要条件是AT=K(X'TX)+X', 其中X,K是已知阵且4(K')S(X),T=V+XUX,V≥0，U=U'使得u(T)=u(:X)). 引理4对线性模型{y,XB,V},设a'y为可估函数CB的一个无偏估计，则ay 是BLUE台对零的任一个无偏估计b'y,总有cov(a'y,b'y)=0) 引理5在一般线性模型下，XB的最佳线性无偏估计存在的充要条件是Q{Px} ≠①6. 引理6如果u(C)∩(D)={O,则{PcD}E{PAB台4(A)Su(C)4(B)Su(D). 引理7∩{Px}={Pax}台∩{Pvx}≠D. 1 证明：→”显然←”·0{Px}≠台4(VX:VX(.X引理2)， 有{Pxvx}{Pnr=l.2,…,t(引理6)，{Prx∩{Pr,x}又知∩Pxx}

北 京 科 技 大 学 学 报 年 线性充分统计量 定 义 在 一 般线性 模 型 夕 ， 那 ， 下 ， 统计 量 是 一 ” 。 阵 称 那 的 最 佳 线 性 无 偏 估计 ， 若 对 丫咋 ， 是 方在 ， 那 ， 叫 下 的最 佳 线 性 无 偏 估 计 定 义 在 一 般 线 性 模 型 夕 ， 那 ， 下 ， 统 计 量 称 为 关 于 那 是 线 性 充 分 的 ， 若存 在 矩 阵 使 是 那 的最 佳 线 性 无 偏 估 计 定 义 非 负 定 阵 ， 称 为 中最 大 元 ， 如果 丫咋 均 有 风均二 风 容 易 看 出 中最 大 元 一 定 存 在 ， ，十 … 十 就 是 一 个 刻 划 关 于 那 的 线性 充 分 统计 量 前 ， 先建 立 几 个 引理 引 理 在 一 般 线 性 模 型 ， 口 ， 下 ， 是 中最 大 元 ， ’ ， 是 任 一 对 称 阵 使 得 召 二 料 幻 ， 有 川 今 川’ 井 刀 ， 以幻 以 ’ 孔 幻 ， 共 ‘ 井 幻 一 ’ ’ 证 明 ’ 且 风幻仁风 ， 故 哟 ， 从 而 ’ 共 ’ 二 ， 二 ’ ’ ， 说 明 ’ 井 与 井 的 取 法 无 关 ， 于 是 ’ 共 二 ’ 君 由 于 儿 对 蕊 人 君 ’ ， 儿 ‘ 盯 人 ‘ 井 ， 而 拜 ‘ 井 幻 拜 今显 然 成 立 ， 所 以 拜 ’ 风’ 井 幻 的第 个 结 论 及 ， 从此 结论 很 容 易 得 出 引 理 在 一 般 线性 模 型 ， 郑 ， 下 ， 是 中最 大 元 ， 令 ’ ， 是 任 一 对称 阵 使 得 风 二 风 幻 ， 则 下 面 条 件 等 价 【 归几 ·， 土 ‘ ， ‘ ’ 井 土 沈 上 卜 拜 ， 洲 ‘ 拼 上 拜 幻 自 一 洲 土 一 ， 土 … 工 仁 … 风叭 且 一 从 土 卜 ， 二 十 嵘矛 拌 叭 上 二拜 … ， 土 引 理 存 在 矩 阵 适 合 ， 风 ’ 二风幻 的 充 要 条 件 是 二 ’ 刀 ’ ， 其 中 ， 是 已 知 阵且 召 ’ 拜 ， ， ， ‘ 使 得 拜 乃 拜 引 理 是 令今 引 理 笋。 引 理 引理 对 线 性 模 型 ， 那 ， 川 ， 设 ’ 为 可 估 函 数 刀的 一 个 无 偏 估 计 ， 对零 的 任 一 个 无 偏 估 计 ’ ， 总 有 ’ 夕 ， ‘力一 ‘ 刀 则 ’ 在 一 般 线 性 模 型 下 ， 那 的 最 佳 线 性 无 偏 估 计 存 在 的 充 要 条 件 是 自 尸 如 果 料 自拜 ， 则 。 二 ， 。 骨拼 归蛛 」 一 一 哟 笋饭 二 拜 证 明 “ 劝 ” 显 然 “ 仁 丫 归 ， 几 详 ‘ ， “ 风 芳 二 ‘ 引理 ， 有 蛛 到 二 · ， 一 ‘ ， ， 一 ‘ 弓 理 “ ， ’ 尸、 叭万 归 又 知 瓜马

Vol.17 No.5 赵立英：一般线性模型下的线性充分性 483. {P4,x+x++x4}寸1，（引理6）.由于存在之，…，，使得.=aY1++a,, 故(Pnvx )(Pnvx综上两式Q,Prx}=P 定理中记(M1)≌{y,XB,D},(M2){y,XB,V.}. 定理Fy是(MI)下XB的线性充分统计量.台Fy是(M2)下XB的线性充分统计量 且，APax+}≠w台u(WSu(T.F且A{Pxx:}+台V(FX:FV,.x)SN(KO)且. A,Px:}≠台NNMT.END)∩4T)且Pr≠o,其中p=XXTX灯xT. 证明Fy是(MI)下XB的线性充分统计量台3Bs.t.BFy在(MI)下是XB的BLUE 台Bst.BFX=X,BFVX1=0,r=1,2,,台3Bst.BFe∩{Pvx}≠Φ（引理5） 台3Bst.BFn{Px}≠Φ（引理7).台3Bst.BFX=X,BFV.X1=0,∩Pwx}≠0 台Fy是(M2)下XB的线性充分统计量∩{Pxwx}≠Φ白BFT.=X(XT:XX,∩{Paw,x} ≠Φ（引理3).其中T.=V.+XUX',U'=Us.t.4T)=(V.X台(X'TX幻X二4TF), A{Px}≠台(S(TF',QPxx·}≠（引理1) 下面证N(FX:FVX⊥)SN(XO)台(XOSu(T.F). 由N(FX:FV.XL)SN(XO)知3Bst.BFX=X,(V.F'B)S(X白BFT=X,u(T.FB) 二u(台BFT.=X(X'TX)+X'(引理3)，台(X)SH(TF'). 再证(X)S4(T.F')台N(F)∩(T.)SN(P)∩μ(T.). “→”a()S(T.F')→N(FT,)SN(X"). 廿zeNF)∩(T),z=T.t,有FT.t=0→eN(FT.)ENX'"户Xt=0→XXT时X)X"TT.t =0→：=TteN(P),即zeN(p)∩(T.). “=”若N(F)∩(T)EN(F)∩4(T). 对teN(FT)→FTt=0→T.teN(F)∩u(T.)→T,t∈N(P),即X(X'TX)+X'T:T.t=0 →X(X'TX)+X't=0. rkX=rkX(XT.)+X”=rkX→X't=O,即teN(X"),从而N(FT)二N(X"),得 (X)Su(T.F). 2最小线性充分性 定义1在-般线性模型{y,XB,D}下，如果(i)Fy关于XB是线性充分的；(i)对 任一关于XB是线性充分的Hy,都存在B使Fy=BHya.s.则称Fy关于XB是最小线 性充分的， 定理Fy在(M1)下关于XB是最小线性充分的台Fy在(M2)下关于XB是最小线 性充分的且，APx:}≠0台()=(T.F)且，QPx}≠台N(FX:FV.K)=NXO) 且∩{Pvx}≠④台NF)∩4T)=NP)∩4T)且∩{Pvx:}≠Φ，其中p=XXT时X0XT. 证明Fy在(M1)下关于XB是最小线性充分的

马 、 。 、 土 土 “ ， 土 赵立 英 一 般线性模型下 的线性 充分性 丫几。 … 义 ‘ 引 理 由于 存 在 ， … ， ‘ 使得 一 ，十 … 仪 ‘ ， 亡 故 归 ， · 问标 · 综 上 两 式 口 二 · 一 侃 · 定 理 中记 对 会行 ， 刀 ， ， 材 全王， ， 刀 ， 定 理 是 下 口的 线性 充 分 统计量 骨 是 下 那 的 线性 充 分 统计 量 且 归 ， 、 · 笋 中” “ 幻 二“ ’ 且 户 ， 凡 ·水 笋中 ” 土 且 · 归氏 。 、 证 明 ‘ ， “ 自风 库 画 自风 且 归几 ‘ ’ ， 其中了一 ’ “ 刀 ‘ ’ 令今 日 夕是 下 那 的 线 性 充 分 统计 量 骨日 丑 ， 刀 土 ， ， ， … ， 骨日万 今今 日 自 夕 在 下是 刀的 叨 ， 马 · 并。 弓 理 踢 · 护 笋， 理 · ” 日” ” 一 ， 刀尸 犷 一 ， 卿马、 铸中 ” ， 是 “ 下 那 的线性 充分 统计量 归气， 笋， ” 一 ’ 君解 ， 卿踢对 笋。 引理 其 中 ’ ， ’ 二 风 二 风 万片冷 风 ’ 君幻 十 侄风 ’ ， 归踢 · 铸’ “ 风幻蜘 ’ ， 归斯 ， ‘ ， ” 理 ‘ 下 面 证 岌 土 岌 骨风幻 风 ’ 由 上 知 三刀 刀 ， 料 ’ 拜 万丫冲 ， 拜 ‘ ’ 拜 刀骨 ‘ 君 刀 ’ 引 理 ， 幼拜 幻 ‘ 再 证 刀 拜 ‘ 骨 门拜 二 伊 自 拜 丑 “ 劝 ” 拜 幻 拼 ‘ 幼 ‘ 丫 自 风 ， ， 有 幼 二 ’ 户’ 二 幼 ’ 君幻 ’ 介 劝 。 匡 ， 即 匡 自拜 “ 仁 ” 若 自 料 匡 自 界 对 孔 幼 孔 幼 孔 自 拼 幼 万 ， 即 ‘ 盯刀 ‘ 盯 幼 ’ 刀 ’ ’ ’ 人 天 ‘ 君 刀 十 ’ 天 ‘ 幼 ’ ， 即 ‘ ‘ ， 从 而 ‘ ， 得 拜 刀 拜 ‘ 最 小 线 性 充 分性 定 义 在 一 般 线 性 模 型 ， 口 ， 下 ， 如 果 关 于 那 是 线 性 充 分 的 对 任 一 关 于 口是 线 性 充 分 的 ， 都 存 在 使 则 称 关 于 那 是 最 小 线 性 充 分 的 定 理 在 下 关 于 那 是 最 小 线 性 充 分 的 骨 在 下 关 于 那 是 最 小 线 性 充 分 的且 归标 ， 上 铸中 “ “ 幻 一 “ 且 归‘ · 铸， “ “ 土 一 从 且 自 矛 笋， ” 自风 一 哑 自风 且 卿踢 笋 电 其 中万一 ’ 君 刀’ 证 明 在 下 关 于 那 是 最 小 线 性 充 分 的

…484· 北京科技大学学报 1995年No.5 台0Fy是M1)下的线性充分统计量： (2)3Bs.t.Fy=BHya.s.其中Hy在(MI)下关于XB线性充分. 一四Fy在(M2)下关于X邓线性充分，且门Px}≠D; (2)Fy=BHya.s.其中Hy在(M2)下关于XB线性充分. 台Fy在(M2)下关于XB是最小线性充分的，且O(Parx}≠Φ一N(FX:FV.X-)=N(XO), A{Px}≠Φ11. 余下的等价条件只须证明：①u(T.F)H()台N(FX:FV.X)2N(XO);②μ(X) =(T.F')台N(F)∩u(T)=NP)∩a(T). Eo·uPxpgx)2Nxo=r[ymF]c[6pmx=a FT.X1=0→(X1)yT.F=0→(T.F')Eμ(X). “→”4(T,F')Su()→FTX1=0→FV.Xt=0→N(X:0)CN(FX:FVX）. 再证②已知u(X)=a(T.F')台u(T,P')=u(T.F')台N(FT)=N(PT)台N(P)∩a(T) =N(F)∩4(T) 致谢本文是在东北师大数学系朱显海教授指导下完成的，在此深表谢意. 参考文献 1 Baksalary J K,Kala R.Linear Transformation Preserving Best Linear Unbiased Estimation in General Gauss-Markov Model.Ann Statist,1981(9):913~916 2 Drygas H.Sufficience and Completeness in the Gauss-Morkov Model.Sankhya Ser,1983,A45: 88-98 3 Baksalary J K.Kala K.Linear Sufficience with Respect to Given Vector of Parameter Function. J Stat Plan and Inference,1986,14:331 ~338 4 Lu Changyu.Linear Sufficience and Linear Completeness in General Gauss-Markov Model with Restrictions on Parameter Space.J of Jilin Univemity.1989.5:29~33 5张林.带线性约束的一般G-M模型下的线性充分性：「学位论文]沈阳：东北师范大学，1990 6 Kala R.Projectors and Linear Estimation in General Linear Models.Commun in Statist,1981, A10(9):849~873 7 Baksalary J K.A Study of the Equivalence between a Gauss-Markov Model and Its Augmentation by Nuisance Parameters.Math Oper Stat Ser Stat.1984.15(1):3~35 8 Mathew T.Linear Estimation with an Incorrect Dispersion Matrix in Linear Models with a Common Linear Part.JASA,1983,178:471

北 京 科 技 大 学 学 报 年 是 下 尤刀的 线 性 充 分 统 计 量 已 二 其 中 在 下 关 于 口线 性 充 分 ’ ， 在 “ 下 关 于 那 线 ’ 性充 分 ， 且 归 二 并 电 夕 其 中 在 下 关 于 郑 线 性 充 分 骨 “ ，在 “ 下 关于 那 是 最小 线性 充分 的 ， 且 归 ， 二 」 笋 中” 一 一 至 ， 瓜马 ， 。 余 下 的 等 价 条 件 只 须 证 明 ① 川 ’ 川习 骨 矛 」 三 岌 ② 拜 刀 拼 ’ ‘ 骨 自 拼 伊 自 拜 证 ① · 仁 · 。 ， 二 井。 「’ ‘ 、 ， ， ， 忙 。 「’ 劝 。 一 。 劝 入 户 」 」 土 劝 土 ‘ ’ 劝风 ’ 二风刀 “ 幼 ” 风 尸 风刀幼 土 二 井 上 幼 至 互 至 再 证 ② 已 知 风刀 二 风 ’ 骨风 尹 二 风 ’ 骨 万 骨 万 自 风 尸 自 拜 致谢 本 文是 在 东北 师大数学 系朱显海教 授指 导下 完成 的 ， 在此深表谢意 参 考 文 献 ， 一 ， 一 一 ， ， 一 ， ， ， 一 一 ， ， 一 张林 带线性 约束 的一 般 一 模型 下 的线性 充 分性 【学 位 论 文」沈 阳 东北 师范大 学 ， ， ， 一 一 ， 一 ，