定理13.14:[G;为群,Q≠HcG,H是G的子群,当 且仅当 1)关于H封闭 (2)任一h∈H必有h∈H 证明:必要性:当H是G的子群时,(1)和(2)成立。 充分性:当h∈H必有h1∈H,由封闭性知hh∈H, 即单位元e∈H; 又因为HcG,而[G;为群满足结合律,所以在H 中也满足结合律, 而条件(2)任一h∈H必有h∈H,说明H中每个元 素有逆元所以[H;是群是G的子群。定理13.14:[G;·]为群,HG,H是G的子群,当 且仅当 (1)·关于H封闭 (2)任一hH必有h -1H 证明:必要性:当H是G的子群时, (1)和(2)成立。 充分性: 当hH必有h -1H,由封闭性知h·h-1H, 即单位元eH; 又因为HG, 而[G;·]为群,满足结合律,所以在H 中·也满足结合律, 而条件(2) 任一hH必有h -1H ,说明H中每个元 素有逆元,所以[H;·]是群,是G的子群