复旦大学：《离散数学——代数结构与数理逻辑》PPT课件_04/29

三、循环群 1.元素的阶 定义1310:设G为群,e是G的单位元,对于 a∈G,如果存在最小正整数r,使得a′=e,则 称r为元素的阶;也可称a是阶元。若不存 在这样的r,则称a为无原阶元或说a的阶无 原 若元素a的阶有限,则存在k∈Z(k≠D),使mk=nl, 如果a的任意两个幂都不相等,则元素a的阶 无限

三、循环群 1.元素的阶 定义13.10:设G为群, e是G的单位元，对于 aG, 如果存在最小正整数r，使得a r=e，则 称r为元素a的阶; 也可称a是r阶元。若不存 在这样的r，则称a为无限阶元或说a的阶无 限。 若元素a的阶有限，则存在k,lZ(kl),使a k=a l ， 如果a的任意两个幂都不相等, 则元素a的阶 无限

定理13.12:G为群,a∈G,阶为n,则对 m∈Z,ame当且仅当nm。 定理():若G是有限群,则G中的每个 元素的阶都是有限的。 例:在有限群G中,阶大于2的元素数目 必是偶数。 先证:G是群,对任意a∈G,当a的阶有 限时,a的阶与a-阶相同。 证明正整数p和q相等通常有两种方法 (1)p≤q,qsp,可推出p=q (2)若 plg, qlp,可推出p=q

定理13.12：G为群, aG, 阶为n, 则对 mZ, a m=e当且仅当n|m。 定理(一)：若G是有限群，则G中的每个 元素的阶都是有限的。 例：在有限群G中，阶大于2的元素数目 必是偶数。 先证：G是群，对任意aG，当a的阶有 限时，a的阶与a -1阶相同。 证明正整数p和q相等,通常有两种方法: (1)pq, qp,可推出p=q (2)若p|q,q|p,可推出p=q

例:设群G的元素a的阶是n,则a的阶 是m/d。其中d=(r,m)为r和n的最大公因子。 分析:要证a的阶是m/d,则要证: a n/d一 e

例：设群G的元素a的阶是n，则a r的阶 是n/d。其中d=(r,n)为r和n的最大公因子。 分析：要证a r的阶是n/d,则要证： (ar ) n/d =e

2循环群 定义13.11:群G,若有a∈G,对任g∈G,存在 k∈Z,使得g=a,就说群G可以由元素a生成,是 循环群;a为它的一个生成元。将它表示成 G=(a)。当G的阶有限时,称它为有限循环程 否则称为无限循环群。 例对于群{1,-1,-i};×,1=1,-1=12,-=译, 即1,-1,i,i都可以由表示,是循环群;是生成元。 类似地,1=(-1)0,-1=(i)2,=(-i)3,是生成元。 一个循环群可能有多个生成元。 此例中,4个元素,称为4阶循环群

2.循环群 定义13.11：群G,若有aG, 对任gG, 存在 kZ,使得 g=ak ,就说群G可以由元素a生成, 是 循环群;a为它的一个生成元。将它表示成 G=(a)。当 G的阶有限时, 称它为有限循环群; 否则称为无限循环群。 例:对于群[{1,-1,i.-i};],1=i0 ,-1=i2 ,-i=i3 , 即1,-1,i.-i都可以由i k表示,是循环群,i是生成元。 类似地，1=(-i)0 ,-1=(-i)2 ,i=(-i)3 ,-i是生成元。 一个循环群可能有多个生成元。 此例中，4个元素，称为4阶循环群

例:对于群[;+1对任意k∈Z,k=k1(即1 即1是生成元,[Z;+是无限循环群,同样 1也是生成元。 例:设有限群G;阶为n,若存在元素 g∈G,它的阶也是n,则G;是由g生成 的循环群。 例:若a是无限循环群[G;的生成元 则a的阶无限

例：对于群[Z;+],对任意kZ,k=k 1(即1 k ) 即1是生成元，[Z;+]是无限循环群，同样 -1也是生成元。 例：设有限群[G;*]阶为n，若存在元素 gG，它的阶也是n，则[G;*]是由g生成 的循环群。 例：若a是无限循环群[G;*]的生成元， 则a的阶无限

定理1313:G为循环群,a为其一个生成元,则 G的结构完全由元素a的阶决定: (1)当a为无限阶时,G同构于加法循环群 Z;+]; (2)当a的阶为n时G同构于同余类加法循环 群[Zn;⊕]l。 证明:(1)G={ak∈,定义φ:G→Z cp(a)=k (2)G=e,4,x2,2),定义q:G→Zn, cp(ak)=lkI

定理13.13:G为循环群,a为其一个生成元,则 G的结构完全由元素a的阶决定: (1)当a为无限阶时,G同构于加法循环群 [Z;+]; (2)当a的阶为n时,G同构于同余类加法循环 群 [Zn ;]。 证明:(1)G={ak |kZ},定义:G→Z, (a k )=k (2)G={e,a,a 2 ,a n-1 },定义:G→Zn , (a k )=[k]

因为整数加法群与同余类加法群的构造 已完全弄清楚了,所以循环群的构造是完 全清楚的

因为整数加法群与同余类加法群的构造 已完全弄清楚了,所以循环群的构造是完 全清楚的

§3子群、正规子群与商群 、子群 定义1312:G:;]为群,HG且H≠,如果 H;也为群时,称它为G的子群。 必有这样的子群 G与{e},称为平子群 真子群

§3 子群、正规子群与商群 一、子群 定义13.12:[G;·]为群,HG且H,如果 [H;·]也为群时, 称它为G的子群。 必有这样的子群: G与{e}, 称为平凡子群; 真子群

定理13.14:[G;为群,Q≠HcG,H是G的子群,当 且仅当 1)关于H封闭 (2)任一h∈H必有h∈H 证明:必要性:当H是G的子群时,(1)和(2)成立。 充分性:当h∈H必有h1∈H,由封闭性知hh∈H, 即单位元e∈H; 又因为HcG,而[G;为群满足结合律,所以在H 中也满足结合律, 而条件(2)任一h∈H必有h∈H,说明H中每个元 素有逆元所以[H;是群是G的子群

定理13.14:[G;·]为群,HG,H是G的子群,当 且仅当 (1)·关于H封闭 (2)任一hH必有h -1H 证明:必要性:当H是G的子群时, (1)和(2)成立。 充分性: 当hH必有h -1H,由封闭性知h·h-1H, 即单位元eH; 又因为HG, 而[G;·]为群,满足结合律,所以在H 中·也满足结合律, 而条件(2) 任一hH必有h -1H ,说明H中每个元 素有逆元,所以[H;·]是群,是G的子群

定理1315:G;为群,O≠HG,H为G的子 群,当且仅当对任a,b∈H,有abl∈H 推论136:当H为G的子群时,H的单位元 就是G的单位元,a∈H它在H中的逆元就是 它在G中的逆元a1 例:H1;]和[H2;是群IG;1的子群,则 I1∩H2;也是群G;1的子群。 IH1UH2;是否是群G;的子群? 例:IG;1是群,g∈G设H={gn∈Z,则 IH;是[G;的子群

定理13.15:[G;·]为群, HG,H为G的子 群, 当且仅当,对任a,bH,有a·b-1H。 推论13.6：当H为G的子群时,H的单位元 就是G的单位元,a H它在H中的逆元就是 它在G中的逆元a -1 。 例：[H1 ;·]和[H2 ;·]是群[G;·]的子群，则 [H1∩H2 ;·]也是群[G;·]的子群。 [H1∪H2 ;·] 是否是群[G;·]的子群？ 例：[G;·]是群，gG,设H={gn |nZ},则 [H;·]是[G;·]的子群