二、代数扩域 定义157:当域F的扩域K中每个元素 都是F的代数元时称K为F的代数扩域。 当a1,xn为域F上的代数元时记 F(x1…,an)为包含F和a1…,On的最 代数扩城当n=1时又称它为F的单优数 扩域
❖ 二、代数扩域 ❖ 定义15.7：当域F的扩域K中每个元素 都是F的代数元时,称K为F的代数扩域。 当1 ,…, n为域F上的代数元时,记 F(1 ,…, n )为包含F和1 ,…, n的最小 代数扩域,当n=1时,又称它为F的单代数 扩域
冷定理157:已知a为域F上的代数元p(x)∈F[x] 为α在F上的极小多项式,degp(x)=n>1,则 冷(1)F()Fx(p(x) 冷(2)F(x)中的元素可唯一表示为 a+a1O+.+an10n,其中a∈F,0s≌n-1。 冷证明:(1)利用环同态基本定理 冷构造F]到F(ax)的映射:(f(x)f(x) 冷证明q是同态映射 冷证明Ker=(p(x) 域上的多项式环都是主理想环 冷证明q(F[x)=F(a)
❖ 定理15.7:已知为域F上的代数元,p(x)F[x] 为在F上的极小多项式,degp(x)=n>1,则: ❖ (1)F()≌F[x]/(p(x))。 ❖ (2)F()中的元素可唯一表示为 a0+a1+…+an-1n-1 ,其中aiF,0≤i≤n-1。 ❖ 证明:(1)利用环同态基本定理. ❖ 构造F[x]到F()的映射:(f (x))=f () ❖ 证明是同态映射. ❖ 证明Ker=(p(x)) ❖ 域上的多项式环都是主理想环 ❖ 证明(F[x])=F()
冷推论153:在定理157中当degp(x)n时 FLa: FIEn
❖ 推论15.3：在定理15.7中当degp(x)=n时 [F():F]=n
冷定理158:F()与F()是域F上的两个单代 数扩域,a与β在F上具有相同的极小多项 式p(x)∈F[]则:F(a)≌F(β) 冷证明:设degp(x)=n,由定理157知 冷F(a)F区x](p(x) 冷由定理15,7知Fx](p(x)F(B) 因此F(x)≌F()
❖ 定理15.8:F()与F()是域F上的两个单代 数扩域, 与在F上具有相同的极小多项 式p(x)F[x],则:F()≌F()。 ❖ 证明:设degp(x)=n,由定理15.7知 ❖ F()≌F[x]/(p(x)) ❖ 由定理15.7知F[x]/(p(x))≌F() ❖ 因此F()≌F()
冷定理159:域FF’p为其同构映射,B分 别为F与F的代数元,其极小多项式分别为 p(x=∑ax2,p()=∑x,并且0(n) 2l≤ 则F(x)≌F(B) 要注意定理中的要求:0(1)=a 如果不满足此条件结论不一定成立
❖ 定理15.9:域F≌F' ,为其同构映射,,分 别为F与F'的代数元,其极小多项式分别为: p(x) a x , n 1 i 1 i i − = = − = = n 1 i 1 i i p(x) a x , (a ) 并 且 i a ,i 1, ,n 1, = i = − 则F()≌F'()。 要注意定理中的要求: = ai (a ) i 如果不满足此条件,结论不一定成立
冷设F(a)…(n)表示是通过n次单扩张构成 的关于F的扩域,它是否为代数扩域? 定理:设E为F上的有限扩域,则E是F上 的代数扩域。 分析:关键证明E上每个元素a都是代数元 即找根为a的多项式∈F[x]
❖ 设F(1 )…(n )表示是通过n次单扩张构成 的关于F的扩域，它是否为代数扩域？ ❖ 定理：设E为F上的有限扩域，则E是F上 的代数扩域。 分析:关键证明E上每个元素a都是代数元. 即找根为a的多项式F[x]
代数扩域不一定是有限扩域。 E是Q上的所有代数元全体构成的域,若 [E:Q]有限设为n 冷f(x)=xn+1+2x+2∈Q[×不可约 冷设a为f(x)的根,则1,ax,2,…,线性无关, 冷所以[E:Q]n+1,矛盾
❖ 代数扩域不一定是有限扩域。 ❖ E是Q上的所有代数元全体构成的域,若 [E:Q]有限,设为n. ❖ f(x)=xn+1+2x+2Q[x],不可约 ❖ 设为f(x)的根,则1,,2 ,n线性无关, ❖ 所以[E:Q]n+1,矛盾
三、多项式根域 定义15.8:F为域,f(x)∈F[x,degf(x)=n≥1, N是为F的满足下述条件的扩域: (1)f(x)在N上可分解为n个一次因子的乘 积 (2)f(x)在N的任一子域中不能分解为一次 因子的乘积。 则称N为多项式x)在上的捉域,或简 称域
三、多项式根域 定义15.8:F为域,f(x)F[x],degf(x)=n1, N是为F的满足下述条件的扩域: (1)f(x)在N上可分解为n个一次因子的乘 积; (2)f(x)在N的任一子域中不能分解为一次 因子的乘积。 则称N为多项式f(x)在域F上的根域,或简 称根域
例:f(x)是F上的二次多项式, f(x)=ax2+bx+c(0≠a∈F)2H1、2为fx)的二 个根 N=F(L1 f(x)在F上可约,N=F
例：f(x)是F上的二次多项式， f(x)=ax2+bx+c(0aF),1、2为f(x)的二 个根. N=F(1 ). f(x)在F上可约，N=F
引理151:设p(x)是域F上的不可约多项式, 则存在F的一个有限扩域Kp(x)在K中有根。 证明:设p(x)=a0+a1x+,+anxn 由定理152知:域F[x](p(x)是F的n次扩张 (p(x)+x是p(x)在K中的根 定理15.10:如果x)是域F上的多项式,deg f(x)≥1,那么存在F的一个扩域K,在K中f(x)分 解成一些一次因式的乘积。 证明:采用归纳法 定理14.12
引理15.1：设p(x)是域F上的不可约多项式, 则存在F的一个有限扩域K,p(x)在K中有根。 证明:设p(x)=a0+a1x+…+ anx n 由定理15.2知:域F[x]/(p(x))是F的n次扩张. (p(x))+x是p(x)在K中的根 定理15.10：如果f(x)是域F上的多项式, deg f(x)1,那么存在F的一个扩域K,在K中f(x)分 解成一些一次因式的乘积。 证明:采用归纳法 定理14.12