复旦大学：《离散数学——代数结构与数理逻辑》PPT课件_06/29

五、商群 设[H;是群[G;*的子群,对任意ab∈G,a 和b关于模H同余当且仅当a*b1∈H,记为 a=b(mod H) [a]={xx∈G,且Xa(modH)}={xx∈G,且x*a1 ∈H},Ha=[a]={h*ah∈H 设“~”为.S上的等价关系,“”为S上的二 元运算。 若对任意ab,c,deS,当ab,C~d时,必有 a*C~b*d,则称等价关系~与运算*是相容的, 称~为代数系统[s;的相容等价关系

五 、商群 设[H;]是群[G;]的子群，对任意a,bG，a 和b关于模H同余当且仅当 ab-1H，记为 ab(mod H)。 [a]={x|xG,且xa(mod H)}= {x|xG,且 xa -1 H}, Ha=[a]={ha|hH} 设“ ~ ”为S上的等价关系， “*” 为S上的二 元运算。 若对任意a,b,c,dS ，当a~b,c~d时，必有 ac~bd，则称等价关系~与运算 是相容的， 称~为代数系统[S;]的相容等价关系

[H1,为三次对称群[s3,上的子群, “~”为模H1同余关系 4 3 5 但σ2·3与σ4°σ5不是模H同余的 该等价关系关于运算●是不相容的 事实上主要是因为叫H1,不是正规子群

❖ [H1 ,•]为三次对称群[S3 ,•]上的子群, ❖ H1={e,1 }, ❖ “~”为模H1同余关系 ❖ 则2~ 4 , ❖ 3~ 5 , ❖ 但2 •3与4 •5不是模H1同余的 ❖ 该等价关系关于运算•是不相容的 ❖ 事实上主要是因为[H1 ,•]不是正规子群

今引理(一):叶H;是群G;*的正规子群,定 义关系~如下:对任意a,b∈G,a~b当且仅 当a*b1∈H。则“~关于*为相容等价关系。 分析:关键是证明对任意a,b,c,deG若a-b c~d,必成立a*C~b*d就是要证明 (a*c)*(b*Q1∈H 应利用a*b1∈H和c*d1∈H 特别还要用到正规子群这个条件 定义1316:把“~”下的等价类全体构成的 集合,即子群H的所有右陪集全体构成的集 合,称为商集,记为GH

❖ 引理(一)：[H;]是群[G;]的正规子群，定 义关系~如下：对任意a,bG，a~b当且仅 当ab-1H。则“~”关于为相容等价关系。 分析:关键是证明对任意a,b,c,dG,若a~b, c~d,必成立ac~bd. 就是要证明 (ac)(bd) -1H 应利用ab-1H和cd-1H 特别还要用到正规子群这个条件 ❖ 定义13.16:把“ ~ ”下的等价类全体构成的 集合，即子群H的所有右陪集全体构成的集 合，称为商集，记为G/H

在相容条件下,我们定义⑧如下: 对任意[g=Hg1[g2=Hg2∈GH, Hg1Hg2=H(g1米g2) 引理133:[H;*]是群[G;*的正规子群,则是 G/H上的运算。 对任意[a][]eS,[a△b]=[a*b],则由~关于*的相 容性,保证运算A的结果与等价类的选取无关。 引理134:[H;*是群[G;*的正规子群,则 [GH;⑧]是群。 证明:结合律 单位元:设e为群[G;*1则He=H∈GH为[GH;⑧] 的单位元 逆元:对任意Ha∈GH,有逆元Ha1∈GH

❖ 在相容条件下，我们定义如下： 对任意[g1 ]=Hg1 ,[g2 ]=Hg2G/H, Hg1Hg2=H(g1*g2 ) ❖ 引理13.3: [H;]是群[G;]的正规子群，则是 G/H上的运算。 对任意[a],[b]Š, [a][b]=[ab]，则由~关于的相 容性，保证运算的结果与等价类的选取无关。 ❖ 引理13.4：[H;]是群[G;]的正规子群，则 [G/H;]是群。 证明:结合律 单位元:设e为群[G;],则He=HG/H为 [G/H;] 的单位元 逆元:对任意HaG/H,有逆元Ha-1G/H

关于H的商群 定义1317:[G*为群[H;*为其正规子群 G/H为G关于H的商集合,⑧为GH上关于 陪集的运算则[G/H;]是群称为G关于 H的商群。 在G是有限阶的群时,GH的阶必有限,且 等于正规子群H在G中的指数,即|GH

❖ 关于H的商群 ❖ 定义13.17:[G;*]为群,[H;*]为其正规子群, G/H为G关于H的商集合,为G/H上关于 陪集的运算, 则 [G/H;]是群,称为G关于 H的商群。 ❖ 在G是有限阶的群时,G/H的阶必有限, 且 等于正规子群H在G中的指数,即|G|/|H|

§4群的同态与同态基本定理 一、群同态 设有两个代数系统[S;与T;],如果存在 到上映射φ:S→T,使得对任意的ab∈S, 有:q(a*b)=g(a)op(b),称[S;门与[T7]两 个系统问态。如果φ是双射,则[S;与 T;同构

§4 群的同态与同态基本定理 ❖ 一、群同态 ❖ 设有两个代数系统[S;*]与[T;•], 如果存在 到上映射:S→T,使得对任意的a,bS, 有:(a*b)=(a)•(b)，称[S;*]与[T;•]两 个系统同态。如果是双射,则[S;*]与 [T;•]同构

例( Cayley(凯熟定理:任一有限群必同构 于一个同阶的置换群。 证明:设[G;可为有限群 若[G;·是置换群则【G;]与自己当然同构 下面考虑[G;不是置换群那么就应构造与 G;·]有一定联系的置换群使得它们同构 对任意g∈G定义映射G→>G使得对任意 g'∈G,有o(g)=gg。设={odg∈G 则由例1313知[;小是置换群 下面证明G与匚;同构 构造G→Σ的同构映射:qg)=g

❖ 例(Cayley(凯莱)定理)：任一有限群必同构 于一个同阶的置换群。 ❖ 证明:设[G;•]为有限群. 若[G;•]是置换群, 则[G;•]与自己当然同构. 下面考虑[G;•]不是置换群,那么就应构造与 [G;•]有一定联系的置换群,使得它们同构. 对任意gG,定义映射g :G→G,使得对任意 g'G,有g (g') =g•g' 。设={g |gG} 则由例13.13知[;]是置换群。 下面证明G与[;]同构 构造G→的同构映射:(g)=g

二、群同态基本定理 1.同核与同恋泉 在群G中,a,b∈G,若ab=a,则b=e(单位元) ab=a=ae,由消去律可得b=e 引理:[G;和【G;为群,φ为G→G的同态 映射(不一定满射,则(e)-定是[G';的单 位元 证明因为(G)≠,设x∈p(G)≤G 存在a∈G使得x=q(a) 因为xp(e)=X=xee 利用群满足消去律即得q(e)=ec 该结论对不是群的代数系统不一定成立

❖ 二、群同态基本定理 ❖ 1.同态核与同态象 ❖ 在群G中，a,bG,若ab=a，则b=e(单位元) ab=a=ae，由消去律可得b=e。 ❖ 引理：[G;*]和[G';•]为群, 为G→G'的同态 映射(不一定满射),则(e)一定是[G';•]的单 位元. ❖ 证明:因为(G),设x(G)G', 存在aG,使得x=(a) 因为x•(e)=x=x•eG', 利用群满足消去律即得(e)=eG'. 该结论对不是群的代数系统不一定成立

定义1318:q为群G→>G的同态映射,e,e 分别为GC之单位元。集合K={x∈G q(x)=e"}称K为同态映射φ的核又称同态 伭记为Kerq,简记为K(q) 冷K≠,这是因为p(e)=e,即e∈K 例:[R{0}将和[{11:为为群 1x>0 P(x) x0,x∈R} 故[1,}的单位元1源不止一个。Ke是所有 -1,1}的单位元的顯全体所成的集合

❖ 定义13.18: 为群G→G'的同态映射,e,e' 分别为G,G'之单位元。集合K={xG| (x)=e'},称K为同态映射的核,又称同态 核, 记为Ker, 简记为K()。 ❖ K,这是因为(e)=e',即eK. ❖ 例:[R-{0};*]和[{-1,1};*]为群    −   = 1 0 1 0 ( ) x x  x Ker ={x | x  0, xR} { 1,1}的单位元的象源全体所成的集合 故 { 1,1}的单位元1的象源不止一个。Ker是所有 − − 

定理:q为群[G;*]→[G;]的同态映射,则 (1)Kerq;*为[G;*]的正规子群。 (2)p为一对一当且仅当K={ec} (3)[@p(G);·]为[G;·]的子群。 证明:(1)先证明Kerp是子群 封闭对任意ab∈Kerp,有a*b?∈Kerp 即证φ(a*b)=?eG 逆元:对任意a∈Kerp,它在G中的逆元a1∈? Kero 然后证明对任意g∈Ga∈Kerq有 g-1*a*g?∈Kerq

❖ 定理：为群[G;*]→[G';•]的同态映射,则 (1)[Ker; *]为[G;*]的正规子群。 (2)为一对一当且仅当K={eG} (3)[(G); •]为[G';•]的子群。 ❖ 证明:(1)先证明Ker是子群 封闭:对任意a,bKer,有a*b?Ker, 即证(a*b)=?eG' 逆元:对任意aKer,它在G中的逆元,a-1? Ker 然后证明对任意gG,aKer有 g-1*a*g?Ker