定理1417:F×为域F上的多项式环,商环 FIx](p(x)是域,当且仅当p(x)为F[×]上的 不可约多项式。 证明:(1)商环Fx](p(x)是域证明p(x)为不 可约多项式 反证,若p(x)可约,则存在h(x),gx)∈F(x),且 0<degh(x), degg(x<degp(x) 使得p(x)=h(x)*g(x) 因此h(x)2g(x)(p(x),即 (p(x)+h(x)和(p(x)+g(x)都不是F[x(p(x)的 零元但 (p(x)+h(x)∞(p(×)+g(x)=(p(x)+h(x)g(x) =(p(x)+p(x)=(p(x)为F[x](p(x)的零元 而F[×/(p(x)是域,无零因子
❖ 定理14.17:F[x]为域F上的多项式环, 商环 F[x]/(p(x))是域, 当且仅当p(x)为F[x]上的 不可约多项式。 证明:(1)商环F[x]/(p(x))是域,证明p(x)为不 可约多项式 反证,若p(x)可约,则存在h(x), g(x)F(x), 且 0<degh(x),degg(x)<degp(x), 使得p(x)=h(x)*g(x) 因此h(x),g(x)(p(x)),即 (p(x))+h(x)和(p(x))+g(x)都不是F[x]/(p(x))的 零元.但 ((p(x))+h(x))((p(x))+g(x))=(p(x))+h(x)g(x) =(p(x))+p(x)=(p(x))为F[x]/(p(x))的零元 而F[x]/(p(x))是域,无零因子
(2)p(x)为F[上的不可约多项式证明 商环FXx](P(x)是域 首先可以知道F[x](p(x)是交换环且有单 位元(p(x)+1 关键是考虑F[×](p(x)中每个非零元是否 都存在逆元 对F[x(p(x)中任意非零元(p(x)+r(x),其 中degr(x)<degp(x) 利用p(x)不可约,可得(p(x),r(x)a∈F 由定理149(2)存在s(x),t(x)eF(x),使得 p(xs(x)+r(x)t(x=a 因此(p(x)+a1(x)是(p(x)+r(x)的逆元 推论144zD=z(p)为域当且仅当p为素数
(2) p(x)为F[x]上的不可约多项式,证明 商环F[x]/(p(x))是域 首先可以知道F[x]/(p(x))是交换环.且有单 位元(p(x))+1. 关键是考虑F[x]/(p(x)) 中每个非零元是否 都存在逆元. 对F[x]/(p(x))中任意非零元(p(x))+r(x),其 中degr(x)<degp(x), 利用p(x)不可约,可得(p(x),r(x))=aF*. 由定理14.9(2),存在s(x),t(x)F(x),使得 p(x)s(x)+r(x)t(x)=a 因此(p(x))+a-1 t(x)是(p(x))+r(x)的逆元 ❖ 推论14.4:Zp=Z/(p)为域当且仅当p为素数
冷例讨论商环23](x41)是否为域。 冷x4+1=(x2+2x+2)(x2+x+2) 冷所以23x](x4+1)不是域
❖ 例:讨论商环Z3 [x]/(x4+1)是否为域。 ❖ x 4+1=(x2+2x+2)(x2+x+2), ❖ 所以Z3 [x]/(x4+1)不是域
Z3x](x2+1) 冷x2+1在23上不可约, 冷23[x(x2+1)为域 今Z3[(x2+1)={ax+ba,b∈Z3 共有9个元素 冷省略了(x2+1) 常以这种简化的方式写商域中的元素 各非零元素的逆。 多项式关于某个不可约多项式模的逆的 计算
❖ Z3 [x]/(x2+1) ❖ x 2+1在Z3上不可约, ❖ Z3 [x]/(x2+1)为域 ❖ Z3 [x]/(x2+1) ={ax+b|a,bZ3 } ❖ 共有9个元素 ❖ 省略了(x2+1)。 ❖ 常以这种简化的方式写商域中的元素 ❖ 各非零元素的逆。 ❖ 多项式关于某个不可约多项式模的逆的 计算
x8+x4+x3+x+1是z2上的不可约多项式。 冷22[×](x8+x4+x3+X+1)是域。 X6+X4+x2+x+1,x7+X+1∈Z2[×(x8+x4+x3+x+1) 冷(x6+X4+x2+x+1)(x7+x+1)mod(x8+x4+x3+x+1) =x7+X6+1 (x6+X4+x2+x+1)∈Z2[×](x8+x4+x3+X+1) 其逆元是x7+x5+x4+x3+x2+x+1 冷方法:利用1=s(×)f(x)+(x)g(x) 即1=s(x)(X6+X4+x2+X+1)+t(x)(x8+x4+x3+x+1) 冷实质是求s(x) 利用辗转相除法
❖ x 8+x4+x3+x+1是Z2上的不可约多项式。 ❖ Z2 [x]/(x8+x4+x3+x+1)是域。 ❖ x 6+x4+x2+x+1,x7+x+1Z2 [x]/(x8+x4+x3+x+1) ❖ (x6+x4+x2+x+1)•(x7+x+1)mod(x8+x4+x3+x+1) =x7+x6+1 ❖ (x6+x4+x2+x+1)Z2 [x]/(x8+x4+x3+x+1) ❖ 其逆元是x 7+x5+x4+x3+x2+x+1 ❖ 方法：利用1=s(x)f(x)+t(x)g(x) ❖ 即1=s(x)(x6+x4+x2+x+1)+t(x)(x8+x4+x3+x+1) ❖ 实质是求s(x) ❖ 利用辗转相除法
x3+x4+x3+x+1=(x2+1)(x°+x4+x2+x+1)+x4 冷x5+x4+x2+x+1=(x2+1)x4+x2+x+1 冷x4=(x2+x)(x2+x+1)+x 冷x2+x+1=(X+1)x+1 冷故1=(x2+x+1)-X+1)x (x2+x+1)-(x+1)(x4-(x2+x)(x2+x+1) 冷=(1+(X+1)(x2+x)(x2+x+1)+(X+1)x4 =(1+(x+1)(x2+x)(X6+x4+x2+x+1)-(x2+1)x4)+(x+1)x 冷=(x3+x+1)(x+x4+x2+x+1)+(x3+x+1)(x2+1)+(x+1)x4 冷=(x3+x+1)(x+x4+x2+x+1)+(x5+x2)(x3+x4+x3+x+1) (x2+1)(x6+x4+x2+x+1) (X3+x+1)+(x5+×2(x2+1)(x+x4+x2+x+1)+ (x+x2)(x3+x4+x3+x+1) =(x7+x5+x4+x3+x2+x+1)(x6+x4+x2+x+1)+ x5+x2)(x3+x4+x3+x+1) 所以x6+x4+x2+x+1关于模x8+x4x3+x+1的逆元是: 令X7+X5+X4+X3+X2+X+1
❖ x 8+x4+x3+x+1=(x 2+1)(x6+x4+x2+x+1)+x 4 ❖ x 6+x4+x2+x+1=(x2+1)x4+x2+x+1 ❖ x 4=(x2+x)(x2+x+1)+x ❖ x 2+x+1=(x+1)x+1 ❖ 故1=(x2+x+1)-(x+1)x ❖ =(x2+x+1)-(x+1)(x4 -(x2+x)(x2+x+1)) ❖ =(1+(x+1)(x2+x))(x2+x+1)+(x+1)x4 ❖ =(1+(x+1)(x2+x))((x6+x4+x2+x+1)-(x2+1)x4 ) +(x+1)x4 ❖ =(x3+x+1)(x6+x4+x2+x+1)+((x3+x+1)(x2+1) +(x+1))x4 ❖ =(x3+x+1)(x6+x4+x2+x+1)+(x5+x2 )((x8+x4+x3+x+1)- (x2+1)(x6+x4+x2+x+1)) ❖ =((x3+x+1)+(x5+x2 )(x2+1))(x6+x4+x2+x+1)+ (x5+x2 )(x8+x4+x3+x+1) ❖ =(x7+x5+x4+x3+x2+x+1)(x6+x4+x2+x+1)+ (x5+x2 )(x8+x4+x3+x+1) ❖ 所以x 6+x4+x2+x+1关于模x 8+x4+x3+x+1的逆元是： ❖ x 7+x5+x4+x3+x2+x+1
冷定理1418:R为有单位元交换环,且R≠{0}, 则R为域当且仅当R只有平凡理想{0}与R 冷证明:(1)R是域若R存在非平凡理想I 则存在a∈I,a≠0 因为R是域所以存在a的逆元an1∈R 因为是理想所以有aa=1∈I 因此对任意r∈R有r*1∈I, 今R= 冷(2)R只有平凡理想{0}与R, 对R的任一非零元a,证明存在逆元
❖ 定理14.18:R为有单位元交换环,且R{0}, 则R为域当且仅当R只有平凡理想{0}与R ❖ 证明:(1)R是域.若R存在非平凡理想I, ❖ 则存在aI,a0. ❖ 因为R是域,所以存在a的逆元a -1R. ❖ 因为I是理想,所以有aa-1=1I ❖ 因此对任意rR,有r*1I, ❖ R=I ❖ (2)R只有平凡理想{0}与R, ❖ 对R的任一非零元a,证明存在逆元
三、环同态基本定理 冷定义1416:设p是环[R;+到环S;+,* 的同态映射,0为S中的加法单位元,定义 集合K(p)={x∈R|p(x)=0}称为同态下的 核,或简称同态核Kerφ。 冷定理1415:如果φ是环[R;+到环[s;+ 的同态映射,K(q)为其核,则K(q)是R的 理想p(R);+,是[s;+,的子环。 冷证明:(1)K(q)是R的理想 (2)q(R是的子环
❖三、环同态基本定理 ❖ 定义14.16:设是环[R;+,*]到环[S;+',*'] 的同态映射,0'为S中的加法单位元,定义 集合K()={xR|(x)=0'},称为同态下的 核,或简称同态核Ker。 ❖ 定理14.15:如果是环[R;+,*]到环[S;+',*'] 的同态映射, K()为其核, 则K()是R的 理想,[(R);+',*']是[S;+',*']的子环。 ❖ 证明:(1) K()是R的理想 ❖ (2) (R)是的子环
冷定理14.16环同态基本定理):如果q为环 R到环S的同态映射,K=Kerq,则R/K同构 于φ(R)。当q是满同态时,则RK同构于S。 冷证明:1构造R/K到p(R的表达式 令(1(K+r)=p(r) 冷(2)验证这是映射,并且是同态的 冷2证明是双射
❖ 定理14.16(环同态基本定理)：如果为环 R到环S的同态映射,K=Ker,则R/K同构 于(R)。当是满同态时，则R/K同构于S。 ❖ 证明：1.构造R/K到(R)的表达式 ❖ (1)f(K+r)=(r) ❖ (2)验证这是映射，并且是同态的 ❖ 2.证明f是双射
例:证明Rx(x2+1C,这里的R为实数域 证明:用环同态基本定理。 冷作q:Rx]→>C,q(f(x)=1)∈C,其中=-1。这 是一个环同态映射,且为满射。 冷其中K(p)={f(x)∈R[x]f(i)=0}。 根据实系数多项式的复根共轭原理知也是 K(q)中多项式的根,这样K(p)中多项式皆有 因式x2+1,即K(q)=(x2+1) 冷由同态基本定理知RKx/K(q)=(x2+1)=C。 因时间关系,14.5整环与分式域不做介 绍
❖ 例：证明R[x]/(x2+1)C, 这里的R为实数域 ❖ 证明：用环同态基本定理。 ❖ 作:R[x]→C, (f(x))=f(i)C,其中i 2=-1。这 是一个环同态映射, 且为满射。 ❖ 其中K()={f(x)R[x]|f(i)=0}。 ❖ 根据实系数多项式的复根共轭原理知-i也是 K()中多项式的根, 这样K()中多项式皆有 因式x 2+1, 即K()=(x2+1)。 ❖ 由同态基本定理知R[x]/K()=(x2+1)C。 ❖因时间关系，14.5整环与分式域不做介 绍