二、素域 定义154:一个没有真子域的域称为素域。 设p为素数则Z是素域 域F的特征数 定理145任何整环的特征数或为素数或 为0。 域是整环其特征数或为0或为素数
▪ 二、素域 ▪ 定义15.4：一个没有真子域的域称为素域。 ▪ 设p为素数,则Zp是素域. ▪ 域F的特征数 ▪ 定理14.5:任何整环的特征数或为素数或 为0。 ▪ 域是整环,其特征数或为0或为素数
定理154:设[F;+,为域,则[F;+中的非零 元同阶。 证明设F的单位元为e n1特征数非零设 charF=p,则p是素数 因此对任意a∈F,有pa=0,且p是使la=0的最 小正整数 (定理14:设p为有单位元环R的特征数,则 )任a∈R有pa=0,而且,当R是整环时,对任何a≠0,p是使 pa=0的最小正整数 2特征数为零,则F的单位元e关于+的阶无限 对任意a∈F,要证明的阶也是无限
▪ 定理15.4：设[F;+,*]为域,则[F;+]中的非零 元同阶。 ▪ 证明:设F的单位元为e ▪ 1.特征数非零,设charF=p,则p是素数. ▪ 因此对任意aF* ,有pa=0,且p是使la=0的最 小正整数. (定理14.5：设p为有单位元环R的特征数, 则: (1)任aR,有pa=0，而且，当R是整环时，对任何a0,p是使 pa=0的最小正整数) 2.特征数为零,则F的单位元e关于+的阶无限 对任意aF* ,要证明a的阶也是无限
现在考虑域F与它的扩域K,它们的特征数 有何联系 注意到K和F的单位元是同一个e, 由定理154,在K中e的阶是 charK, 在F中e的阶是 charF, 因此 chark= charF 推论15.1:当K为F的扩域时, charK char F
▪ 现在考虑域F与它的扩域K,它们的特征数 有何联系. ▪ 注意到K和F的单位元是同一个e, ▪ 由定理15.4,在K中e的阶是charK, ▪ 在F中e的阶是charF, ▪ 因此charK= charF ▪ 推论1 5 .1：当K为F的扩域时, charK= charF
定理155:F为域,则必包含一个素子域△ 且 (1) charF=0时,△≌Q (2) charF=p时,△≌Z 证明:(1) charF=0 构造集合A={(ne)me)lm,n∈Z,m≠0 因为(ne)(me)l∈F因此△cF 下面证明△是域且无真子域 (2) charF=p,构造集合△={0,e,…,(p-1)e} 显然△cF. 同样要证明△是域且无真子域
▪ 定理15.5：F为域,则必包含一个素子域, 且: ▪ (1)charF=0时, ≌Q ▪ (2)charF=p时, ≌Zp ▪ 证明:(1) charF=0 ▪ 构造集合={(ne)*(me)-1 |m,nZ,m0} ▪ 因为(ne)*(me)-1F,因此F. ▪ 下面证明是域,且无真子域. ▪ (2) charF=p ,构造集合={0,e,,(p-1)e} ▪ 显然F. ▪ 同样要证明是域,且无真子域
§2代数元与根域 代数元与超越元 1.代数元与超越元 定义155:K为域F的扩域,∈K如果有 x)∈F[]使得/(x)=0,则称a为域F的代数 元否则就是F的超越元。 所谓代数元实际上就是域上某个多项式 的根 例:5,√3,17+3都是有理数域上的代
§2 代数元与根域 ▪ 一、代数元与超越元 ▪ 1.代数元与超越元 ▪ 定义15.5：K为域F的扩域,K,如果有 f(x)F[x]使得f()=0,则称为域F的代数 元,否则就是F的超越元。 ▪ 所谓代数元实际上就是域上某个多项式 的根 例:5, 3,i, 7 3都是有理数域上的代数元 . n +
例:√2+√5是否为有理数域上 的代数元? 例:cos-π是否为有理数域 的代数元?
的代数元? 例: 3 2 + 5是否为有理数域上 的代数元? 例: π 是否为有理数域上 5 2 cos
2极小多项式 定义156:是域F的一个代数元,p(x)∈ Fx],称它为在F上的极小多项式如果 p(x)之首项系数为1,且它是F[×中以a为 根的多项式中次数最低的。 定理156:0为F之代数元p(x)为其在F上 的极小多项式,则 (1)p(x)不可约。 (2)若fx)∈Fx],f(a)=0则p(x)f(x) (3)p(x)是唯一的
▪ 2.极小多项式 ▪ 定义15.6:是域F的一个代数元,p(x) F[x],称它为在F上的极小多项式,如果 p(x)之首项系数为1,且它是F[x]中以为 根的多项式中次数最低的。 ▪ 定理15.6:为F之代数元,p(x)为其在F上 的极小多项式, 则: ▪ (1)p(x)不可约。 ▪ (2)若f(x)F[x],f()=0则p(x)|f(x)。 ▪ (3)p(x)是唯一的
证明:(1)p(x)不可约设p(x)≠0,degp(x)≥1 若degp(x)=1p(x)当然不可约 对于degp(x)>1,若p(x)可约, 则存在g(x),q(x)∈F(x),使得p(x)=g(x)q(x) E1sdegg(x), dega(x<degp(x) 0=p(a)=g(o)q(a) F(a)是域无零因子, 因此或者ga)=0,或者q(a)=0 与p(x)为极小多项式矛盾
▪ 证明: (1)p(x)不可约.设p(x)0,degp(x)1. ▪ 若degp(x)=1,p(x)当然不可约. ▪ 对于degp(x)>1,若p(x)可约, ▪ 则存在g(x),q(x)F(x),使得p(x)=g(x)q(x) ▪ 且1≤degg(x),degq(x)<degp(x) ▪ 0=p()=g()q(). ▪ F()是域,无零因子, ▪ 因此或者g()=0,或者q()=0. ▪ 与p(x)为极小多项式矛盾
(2)若(x)∈Fx,f〔c)=0则p(x)f(x) 因为x)=p(x)q(x)+r(x) q(x),r(x)∈F(x),r(x)=0或者degr(x)degp(x) 由fa)=0,得r(a)=0 根据极小多项式定义,有r(x)=0,即p(x)f(x) (3)p(x)是唯一的 若存在a的另一极小多项式p1(x) 则p(x)p(x),P(x)p(x) 由定理1410知p(x)=ap1(x),a∈F, 极小多项式首项系数为1 因此a=1,即p(x)=p1(x)
▪ (2)若f(x)F[x],f()=0则p(x)|f(x)。 ▪ 因为f(x)=p(x)q(x)+r(x), ▪ q(x),r(x)F(x),r(x)=0或者degr(x)<degp(x) ▪ 由f()=0,得r()=0 ▪ 根据极小多项式定义,有r(x)=0,即p(x)|f(x) ▪ (3)p(x)是唯一的 ▪ 若存在的另一极小多项式p1 (x) ▪ 则p(x)|p1 (x), p1 (x)|p(x) ▪ 由定理14.10知p(x)=ap1 (x),aF* , ▪ 极小多项式 首项系数为1, ▪ 因此a=1,即p(x)=p1 (x)
ap(x)∈Fx首项系数为1,在F上不可约且 p(x)=0,p(x)是否为极小多项式? 设a的极小多项式为px) 证明p(x)=p1(x) 推论152:p(x)∈F[灯]首项系数为1,在F 上不可约又有p(x)=0,则p(x)为在域F 上的极小多项式
▪ p(x)F[x],首项系数为1,在F上不可约,且 p()=0,p(x)是否为极小多项式？ ▪ 设的极小多项式为p1 (x). ▪ 证明p(x)=p1 (x) ▪ 推论15.2：p(x)F[x],首项系数为1,在F 上不可约,又有 p()=0,则p(x)为在域F 上的极小多项式