测验: 2设~是群G上的等价关系,并且对于G的任 意三个元素a,x,x,若ax~ax则必有x~x 证明:与G中单位元等价的元素全体构成G 的一个子群。 H={xK∈G并且x~e} 对任意的x∈H,x~e,xe~e=xx 对任意的x,y∈H,x~e,y~e,ey~e, x xyX X
测验： 2.设是群G上的等价关系,并且对于G的任 意三个元素a,x,x‘，若axax’则必有x x‘。 证明：与G中单位元等价的元素全体构成G 的一个子群。 H={x|xG,并且xe} 对任意的xH， xe, xee=xx-1 对任意的x,yH， xe, ye, eye, x -1xyx -1x
2.群问态基本定理 定理1319:群|G;同态于它的任 商群|G/H;]。 证明构造映射f:G→G/H,(g=Hg 然后证明是满同态映射 自然同态
2.群同态基本定理 定理13.19：群[G;*]同态于它的任 一商群[G/H;]。 证明:构造映射f:G→G/H, f(g)=Hg 然后证明f是满同态映射. 自然同态
定理1320:设p为群[G;*到群G;同 态映射K为同态核,φ(G)≤G为G在φ下的 象集,则:G/K;p(G); 证明:对任意的Ka∈G/K,定义 f(Ka=op(a) n(1)是G/K→p(G的映射。 关键是对于Ka=Kb是否有ga)=p(b) (2)是同态映射 对任意的Ka,Kb∈G/K,是否有 f(KacKb)f(Kao(Kb)
定理13.20：设为群[G;*]到群[G';•]的同 态映射,K为同态核, (G)G'为G在下的 象集,则:[G/K;][(G);•] 证明：对任意的KaG/K，定义 f(Ka)=(a) (1)f是G/K→(G)的映射。 关键是对于Ka=Kb,是否有(a)=(b) (2)f是同态映射。 对任意的Ka,KbG/K,是否有 f(KaKb)=f(Ka)•f(Kb)
(3)是一一对应映射 对-:即证若有Ka)=f(Kb必有 Ka=kb 就是要证明*b∈K, 也就是(a*b-)=ece 满射: 推论:若q为群G;到群G;的满同 态映射则:G/K;G';
(3) f是一一对应映射。 一对一 :即证若有f(Ka)=f(Kb),必有 Ka=Kb. 就是要证明a*b-1K, 也就是(a*b-1 )=eG' 满射: 推论：若为群[G;*]到群[G';•]的满同 态映射,则: [G/K;][G';•]
例:R;+是实数加法群Z;+是整数加法 群并且是[R;+的正规子群。 w=e0∈R},为普通乘法群,则 IR/;⊕]cW; 分析应先构造R→W的满同态映射q 然后证明Ker=Z 定义q(x)=e2n Kero=x](x)=1-Z
例:[R;+]是实数加法群,[Z;+]是整数加法 群,并且是[R;+]的正规子群。 W={ei |R},*为普通乘法群，则 [R/Z;][W;*]。 分析:应先构造R→W的满同态映射 然后证明Ker=Z 定义(x)=e2ix Ker={x|(x)=1}=Z
S;“是一个代数系统,为定义在S上的二元 运算若满足: (1)对任意的a,b,c∈S有a(bc)=(ab)c(结合 律); (2)存在e∈S,使 a*e=e*a=a (单位元); (3)对任意的a∈S,存在1∈S使得 a*a=aa-e 则称|S;为群 带2个二元运算
[S;*]是一个代数系统, *为定义在S上的二元 运算,若满足: (1)对任意的a,b,cS有a*(b*c)=(a*b)*c(结合 律); (2)存在eS,使a*e=e*a=a(单位元); (3)对任意的aS,存在a -1S,使得 a*a -1=a-1*a=e 则称 [S;*]为群。 带2个二元运算
S;“是一个代数系统,为定义在S上的二元 运算若满足: (1)对任意的a,b,c∈S有a(bc)=(ab)c(结合 律); (2)存在e∈S,使 a*e=e*a=a (单位元); (3)对任意的a∈S,存在1∈S使得 a*al=al*a=e 则称|S;为群
[S;*]是一个代数系统, *为定义在S上的二元 运算,若满足: (1)对任意的a,b,cS有a*(b*c)=(a*b)*c(结合 律); (2)存在eS,使a*e=e*a=a(单位元); (3)对任意的aS,存在a -1S,使得 a*a -1=a-1*a=e 则称 [S;*]为群
第十四章环 环的英文为Ring,用Ring的起始字 母R表示环,即今后出现的R表示环, 除非特别说明,R不再表示实数集
第十四章 环 环的英文为Ring，用Ring的起始字 母R表示环,即今后出现的R表示环, 除非特别说明，R不再表示实数集
§1环的定义与性质 一、环的定义 代数系统[R;+,],其中+和为定义在R上 的二元运算满足下述条件, (1)R;+为Abe群 2)R;为半群 (3)*满足分配律 a*(b+c)=(a2b)+(ac), (b+c) *a=(b*a)+(ca) 则称[R;+,为环
一、环的定义 代数系统[R;+,*],其中+和*为定义在R上 的二元运算,满足下述条件, (1)[R;+]为Abel群 (2)[R;*]为半群 (3)*满足分配律: a*(b+c)=(a*b)+(a*c), (b+c)*a=(b*a)+(c*a) 则称[R;+,*]为环。 §1 环的定义与性质
(1)R;+中的运算+是一般的运算记号,而 不是普通的加法运算。 (2)|R;+中的单位元通常用0表示,但这也 仅是记号,而不是实数0。 (3)|R计+中a逆元通常用-表示,同样也是 记号。 (4)0是+的单位元 (5)-a是a关于+的逆元。 (6)a关于+运算n次a+a++通常记为na
(1)[R;+]中的运算+是一般的运算记号，而 不是普通的加法运算。 (2) [R;+]中的单位元通常用0表示，但这也 仅是记号，而不是实数0。 (3) [R;+]中a逆元通常用-a表示，同样也是 记号。 (4) 0是+的单位元 (5) -a是a关于+的逆元。 (6)a关于+运算n次a+a++a通常记为na