复旦大学：《离散数学——代数结构与数理逻辑》PPT课件_10/29

定理148:对fx)∈Fx],g(x)Fx,g(x)≠0, 存在唯 的q(x),r(x)∈Fx], degr(x)<degg(x)或r(x)=0,使得 f(x=g(x)q(x)+r(x) 推论142:x),(x-a)∈Fx],则fx)被(x-a)除 的余式为f(a) 推论143:f(x)∈Fx,a∈Fx-a)x)当且仅 当a)=0

▪ 定理14.8：对f(x)F[x],g(x)F[x], g(x)0, 存 在 唯 一 的 q(x),r(x)F[x], degr(x)<degg(x)或r(x)=0,使得: f(x)=g(x)q(x)+r(x)。 ▪ 推论14.2:f(x), (x-a)F[x],则f(x)被(x-a)除 的余式为f(a)。 ▪ 推论14.3：f(x)F[x],aF,(x-a)|f(x)当且仅 当f(a)=0

定义1410:f(x),g(x),h(x)∈Fx当h(x)(x) 且h(x)g(x)时,称h(x)为x)和g(x)的公因 子;若对任c(x)∈Fx,(x)(x,且c(x)g(x)时 必有c(x)h(x,则称h(x)为x和g(x)的最大 公因子,记为h(x)=GCD((x),g(x),简记 为((x),g(x)。 例:在Z3|x中,f(x)=2x4+1g(x)=x5+2,求 它们的最大公因子

▪ 定义14.10：f(x),g(x),h(x)F[x],当h(x)|f(x) 且h(x)|g(x)时，称h(x)为f(x)和g(x)的公因 子;若对任c(x)F[x],c(x)|f(x),且c(x)|g(x)时 必有c(x)|h(x),则称h(x)为f(x)和g(x)的最大 公因子,记为h(x)=GCD(f(x),g(x))，简记 为(f(x),g(x))。 ▪ 例：在Z3 [x]中，f(x)=2x4+1,g(x)=x5+2,求 它们的最大公因子

定理149:(1)GCD(f(x),g(x)可用类似于上 述方法求得; (2)当h(x)=GCD(x,2g(x)时,必存在 s(x),t(x)∈Fx],使h(x)=s(x)f(x)+(x)g(x) FCFX, F=F-{0},任意a∈F存在逆元 对于Fx中其他元素f(x),当 deaf(x)>0,不 存在g(x)∈Fxl使得x)(x)=1 这里1是域F的单位元 对F[x中有逆元的元素称为可逆元

▪ 定理14.9:(1)GCD(f(x),g(x))可用类似于上 述方法求得; ▪ ( 2 ) 当 h(x)=GCD(f(x),g(x)) 时 , 必 存 在 s(x),t(x)F[x]，使h(x)=s(x)f(x)+t(x)g(x) ▪ FF[x],F*=F-{0},任意aF* ,存在逆元 ▪ 对于F[x]中其他元素f(x),当degf(x)>0, 不 存在g(x)F[x],使得f(x)g(x)=1. ▪ 这里1是域F的单位元. ▪ 对F[x]中有逆元的元素称为可逆元

定义14:￥a∈F|x并存在a1∈Fx]使a1=1 时称a为F|x中的可逆元否则称为不可逆元 F区x]中可逆元全体就是F,F[x-F是其不可逆 元全体组成的集合

▪ 定义14.11:当aF[x],并存在a -1F[x],使aa-1 =1 时,称a为F[x]中的可逆元,否则称为不可逆元。 ▪ F[x]中可逆元全体就是F* ,F[x]-F*是其不可逆 元全体组成的集合

定义14.12:f(x)∈Fx,如果存在h(x),t(x),使 得邱x)=h(x)(x),当degh(x)2degt(x)≥1时称 f(x)为F上的可约多耍式当h(x)和(x)中必 有一个为零次多项式设deh(x)=0,即 h(x)∈F为可逆元称x)为不可约多项式 或说f(x)在域F上不可约。 对于实数域上多项式因式分解, 可约与不可约 x22x3=(x-3)(x+1),x2-x-6=(x-3)(x+2) x2x-3和x2-x-6都是可约多项式,并且有公 因子(x-3) x2+1在实数域上不可约

▪ 定义14.12:f(x)F[x],如果存在h(x),t(x),使 得f(x)=h(x)t(x),当degh(x),degt(x)1时,称 f(x)为F上的可约多项式; 当h(x)和t(x)中必 有一个为零次多项式,设degh(x)=0,即 h(x)F*为可逆元,称f(x)为不可约多项式, 或说f(x)在域F上不可约。 ▪ 对于实数域上多项式因式分解, ▪ 可约与不可约 ▪ x 2 -2x-3=(x-3)(x+1), x 2 -x-6=(x-3)(x+2) ▪ x 2 -2x-3和x 2 -x-6都是可约多项式,并且有公 因子(x-3). ▪ x 2+1在实数域上不可约

例:对于Z3x,f(x)=x5+2有因子x+2,它可分 解为: f(x)=x5+2=(x+2)(x4x3+x2+x+1) x4+x3+x2+x+1则是不可约多项式 注意这是在域Z3上的分解

▪ 例:对于Z3 [x],f(x)=x5+2有因子x+2,它可分 解为: ▪ f(x)=x5+2=(x+2)(x4+x3+x2+x+1) ▪ x 4+x3+x2+x+1则是不可约多项式 ▪ 注意这是在域Z3上的分解

定理14,10F为域,f(x),g(x)∈F|x],则有 f(x)|g(x),且g(x)f(x),当且仅当fx)=ag(x), a∈F。这里fx)、g(x)≠0。 证明:由x)g(x)和g(x)〔(x)可推出 f(x)·l=(x)q1(x)q2(x) 因F区x]关于多项式的乘法与加法构成整环 满足消去律,即有1=q1(x)q2(x) q1(x)和q2(x)可逆 若(x)=ag(x)(a∈F),则易得 f(x)g(x),g(xf(x)

▪ 定理14.10:F为域,f(x),g(x)F[x],则有 f(x)|g(x),且g(x)|f(x),当且仅当f(x) =ag(x), aF* 。这里f(x)、g(x)0。 证明:由f(x)|g(x)和g(x)|f(x)可推出 f(x)•1=f(x)q1 (x)q2 (x) 因F[x]关于多项式的乘法与加法构成整环, 满足消去律,即有1=q1 (x)q2 (x). q1 (x)和q2 (x)可逆. 若f(x)=ag(x)(aF* ),则易得 f(x)|g(x),g(x)|f(x)

定义1410:f(x),g(x),h(x)∈F|x当h(x)(x)且h(x)g(x)时, 称h(x)为(x)和g(x)的公因子;若对任c(x)∈Fxc(x)x) 且c(x)g(x)时必有c(x)h(x,则称h(x)为x)和g(x)的最大 公因子,记为h(x)=GCDf(x),g(x),简记为(f(x),g(x) 定理14.11:在多项式环Fx中,1(x) GCD((x),g(x),则g2(x)=GCD(f(x),g(x),当 且仅当g1(x)=ag2(x),这里a∈F。 证明(1)根据最大公因子的定义有 g(x)|g2(x),g2(x)g1(x) 因此由1410得g1(x)=g2(x,这里a∈F (2)对(x),g(x)的任意公因子d(x),设法证明 d(x)g2(x)

▪ 定义14.10：f(x),g(x),h(x)F[x],当h(x)|f(x) 且h(x)|g(x)时， 称h(x)为f(x)和g(x)的公因子;若对任c(x)F[x],c(x)|f(x), 且c(x)|g(x)时必有c(x)|h(x),则称h(x)为f(x)和g(x)的最大 公因子,记为h(x)=GCD(f(x),g(x))，简记为(f(x),g(x))。 ▪ 定理 1 4 . 1 1 :在多项式环 F[x]中 , g1 (x)= GCD(f(x),g(x)),则g2 (x)=GCD(f(x),g(x)),当 且仅当g1 (x)=ag2 (x),这里aF* 。 证明:(1)根据最大公因子的定义,有 g1 (x)|g2 (x), g2 (x)|g1 (x) 因此由14.10得g1 (x)=ag2 (x),这里aF* (2)对f(x),g(x)的任意公因子d(x),设法证明 d(x)|g2 (x)

引理141:F[x为域F上的多项式环,x)2g(x), h(x)∈FKxl,f(x)g(x)h(x),并且GCD(f(x),g(x) =a∈F时有f(x)h(x) 证明:利用最大公因子的性质定理149(2)得 存在s(x),t(x)∈F|x],使 a=s(x)f()+t(xg(x) A1=a-s(x)f(x)+at(xgx 因此有h(x)=a4s(x)(x)h(x)+a1+x)g(x)h(x) 一因为x)g(x)h(x) 故(x)a-(x)g(x)h(x) 所以(x)a-ls(x)f(x)h(x)a1t(x)g(x)h(x) 即f(x)h(x)

▪ 引理14.1:F[x]为域F上的多项式环,f(x),g(x), h(x)F[x], f(x)|g(x)h(x),并且GCD(f(x),g(x)) =aF*时,有f(x)|h(x)。 ▪ 证明:利用最大公因子的性质定理14.9(2)得 ▪ 存在s(x),t(x)F[x],使 ▪ a=s(x)f(x)+t(x)g(x) ▪ 即1=a -1 s(x)f(x)+a -1 t(x)g(x) ▪ 因此有h(x)=a -1 s(x)f(x)h(x)+a -1 t(x)g(x)h(x) ▪ 因为f(x)|g(x)h(x) ▪ 故f(x)|a-1 t(x)g(x)h(x), ▪ 所以f(x)|a -1 s(x)f(x)h(x)+a -1 t(x)g(x)h(x) ▪ 即f(x)|h(x)

引理141F冈x]为域F上的多项式环,(x),g(x) h(x)∈F[×] f(x)g(x)h(x),并且 GcD((x)g(x)=a∈F时,有f(x)h(x) 引理142:多项式环FXx],p(x)∈F[×为不可约多项 式,f(x),g(x)∈F[x若p(x)川f(x)g(x),则p(x)f(x)或 p(x)g(x) 分析:与引理141的区别是最大公因子不一定是 F中的元素但多了个不可约的条件,可考虑以此 为突破口 证明:GcD(x),p(x)p(x)(公因子) 因此有p(x)=h(x)GcD((x)2p(x) p(x)不可约因此或者h(x)∈F 或者GcD((x)p(x)eF: 分情况讨论

▪ 引 理 14.1:F[x]为 域 F上的多项式环 ,f(x),g(x), h(x) F[x], f(x)|g(x)h(x), 并 且 GCD(f(x),g(x))=aF*时,有f(x)|h(x)。 ▪ 引理14.2:多项式环F[x],p(x)F[x]为不可约多项 式, f(x),g(x)F[x],若p(x)|f(x)g(x), 则p(x)|f(x)或 p(x)|g(x) ▪ 分析:与引理14.1的区别是最大公因子不一定是 F*中的元素.但多了个不可约的条件,可考虑以此 为突破口. ▪ 证明:GCD(f(x),p(x))|p(x)(公因子) ▪ 因此有p(x)=h(x)GCD(f(x),p(x)) ▪ p(x)不可约,因此或者h(x)F* , ▪ 或者GCD(f(x),p(x))F* . ▪ 分情况讨论