引理153:Znx中的多项式xx(这里q=p) 在其根域N上分解为q个不同的一次因式 之积。 定理15.15:设p为素数,n≥1为自然数,q=p, 则多项式xx在Zn上的根域是一个阶为p 的伽罗瓦域
引理15.3:Zp [x]中的多项式x q -x(这里q=pn ) 在其根域N上分解为q个不同的一次因式 之积。 定理15.15:设p为素数,n1为自然数,q=pn , 则多项式x q -x在Zp上的根域是一个阶为p n 的伽罗瓦域
Zn上的m次不可约多项式f(x)的根域是什 么? 定理:Zn上的n次不可约多项式x)的根 域是GF(py)=Za) 推论156:GF(p中的元素恰为多项式xp X∈Zx的p个根。 习题15.16 如果a是x)在其根域上的根则N=Zn(ox) 该结论是针对有限域Z上的多项式,对于无 限域是不成立的。 例如x3是Qx上的不可约多项式,β为其根, 但Q()不是x3-a的根域
Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域是什 么？ 定理:Zp上的n次不可约多项式f(x)的根 域是GF(pn )=Zp () 推论15.6:GF(pm)中的元素恰为多项式x p m - xZp [x]的p m个根。 习题15.16 如果是f(x)在其根域上的根,则N=Zp () 该结论是针对有限域Zp上的多项式，对于无 限域是不成立的。 例如x 3 -是Q[x]上的不可约多项式，为其根， 但Q()不是x 3 -的根域
伽罗瓦域GF(p)在某种程度可以看做为 Zn上的m维线性空间,设入1,,m为基, 则有GF(p)=(a11+.an2ma∈Z,lsim} 因此对于域上的+运算,对于a,B∈GF(p), α=a1入1+…+anmβ=b1λ1+…bnm有 α+β=(a1+b1)^1+.(an+bn)~m α无法利用向量空间来简化表示
伽罗瓦域GF(pm)在某种程度可以看做为 Zp上的m维线性空间，设1 ,,m为基， 则有GF(pm)={a11+amm|aiZp ,1im} 因此对于域上的+运算，对于,GF(pm), =a11++amm, = b11+bmm,有： +=(a1+b1 )1+(am+bm)m, *无法利用向量空间来简化表示
因为关于向量没有定义2个向量乘法。 这里要注意,我们讲K为F上的线性空间,是 指域的载集的表示,而不是指域与线性空间 一致,故α*无法利用向量空间来简化表示。 (1)对任意的aBy∈K有: 0+β=B+a,a+(β+y)=(a+β)+y, 并且存在0∈K使得α+0=a,存在δ∈K,使得a+8=0 (2)纯量积定义: ①设1为域F的单位元,α∈K,则有1*=0*1= ②对任意的β∈K∈F有 C(B+Y)=(*8)+(0*y),(B+y)y=(B2c)+(yo) ③对任意的a1B∈F,∈K有a(*y)=(*)y
因为关于向量,没有定义2个向量乘法。 这里要注意，我们讲K为F上的线性空间，是 指域的载集的表示，而不是指域与线性空间 一致，故*无法利用向量空间来简化表示。 (1)对任意的,,K有: +=+, +(+)=(+)+, 并且存在0K,使得+0=,存在K, 使得+=0 (2)纯量积定义: ①设1为域F的单位元,K,则有1*=*1= ②对任意的,K,F有 *(+)=(*)+(*), (+)*=(*)+(*) ③对任意的,F, K有*(*)=(*)*
域的加法运算是多项式加,而乘法运算则 是多项式相乘。 本原元与本原多项式把乘法运算转换成 元素的幂的加法
域的加法运算是多项式加, 而乘法运算则 是多项式相乘。 本原元与本原多项式把乘法运算转换成 元素的幂的加法
§4本原元与本原多项式 引理15.4:[G;*为交换群。a,b∈G分别以 n和m为阶则存在c∈G,其阶为m与n之最小 公倍数[n,m] 证明:m=1,m与n之最小公倍数为n,取c=a n=1,m与n之最小公倍数为m,取c=b m,n都大于1, 习题13.20:G为群,a,b∈G,已知ab=ba,a的阶为n,b 的阶为m,则(m,m)=1时,ab阶为nm
§4 本原元与本原多项式 引理15.4：[G;*]为交换群。a,bG,分别以 n和m为阶, 则存在cG,其阶为m与n之最小 公倍数[n, m]。 证明：m=1, m与n之最小公倍数为n,取c=a n=1, m与n之最小公倍数为m,取c=b m,n都大于1， 习题13.20:G为群,a,bG,已知ab=ba,a的阶为 n, b 的阶为m, 则(n,m)=1时,ab阶为nm
引理15.5:[G;*为交换群,a∈G是其中阶最大 元,设其阶为n则任一x∈G的阶可整除n 定理15.16:GF(p)中非零元全体关于乘法构 成循环群。 关键证明存在元素,其阶为p-1。 找元素,阶最大的
引理15.5：[G;*]为交换群,aG是其中阶最大 元,设其阶为n。则任一xG的阶可整除n。 定理15.16:GF(pm)中非零元全体关于乘法构 成循环群。 关键证明存在元素，其阶为p m－1。 找元素，阶最大的
定义15.10:循环群GF(p);之生成元称 为有限域GF(p)的本原元。 β∈GF(pP)是本原元,则GF(p)中元素 可表示为: GF(p)={0,80=1,B,B2,,Bp2 例:找出GF(32)的所有本原元 不可约多项式x2+1 α+1,a+2,2a+1,2a+2都是本原元
定义15.10:循环群[GF(pm) * ;*]之生成元称 为有限域GF(pm)的本原元。 GF((pm))是本原元, 则GF((pm))中元素 可表示为: GF((pm))={0, 0=1,, 2 ,, pm-2 } 例:找出GF(32 )的所有本原元。 不可约多项式x 2+1 +1, +2, 2+1, 2+2都是本原元
a+1是本原元,则其他元素2,a,a+2,2a, 2a+1,2a+2怎样表示成a+1的幂次?
+1是本原元,则其他元素2,, +2,2, 2+1,2+2怎样表示成+1的幂次?
作业:P20826
作业: P208 26