复旦大学：《离散数学——代数结构与数理逻辑》PPT课件_02/29

参考书 近世代数吴品三人民教育出版社 代数结构与组合数学曲婉玲北京大学 出版社 近世代数及其应用阮传概孙伟北京邮 电大学出版社

• 参考书 • 近世代数 吴品三人民教育出版社 • 代数结构与组合数学 曲婉玲北京大学 出版社 • 近世代数及其应用 阮传概孙伟北京邮 电大学出版社

1彭姝 Email:penghu@fudan.edu.cn 实验室:软件楼310 2顾俊 .Email:gujun@fudan.edu.cn 实验室:软件楼310 3赵一鸣 BBS: zhym Email:zhym@fudan.edu.cn 每周三交作业

• 1.彭姝 • Email:pengshu@fudan.edu.cn • 实验室: 软件楼310 • 2. 顾俊 • Email:gujun@fudan.edu.cn • 实验室：软件楼310 • 3.赵一鸣 • BBS: zhym • Email: zhym@fudan.edu.cn • 每周三交作业

二、商结构 |S;为代数系统 S的等价类全体用§表示,即S={l∈S} 这里a={xa-x,eS} 对任意ab∈S,[a△b]={a*b 定义:设“”为S上的等价关系,““ 为S上的二元运算。若对任意a,b,c,d∈S 当a~b,c~时,必有a*Cb*l,则称等价 关系~与运算*是相容的,称~为代数系 统|S;*的相容等价关系

二、商结构 • [S;*]为代数系统 • S的等价类全体用Š表示,即Š={[a]|aS}。 这里[a]={x|a~x,xS} • 对任意[a],[b]Š, [a][b]=[ab] • 定义：设“~”为S上的等价关系，“*” 为S上的二元运算。若对任意a,b,c,dS， 当a~b，c~d时，必有ac~bd，则称等价 关系~与运算 是相容的，称~为代数系 统[S;]的相容等价关系

·对任意|bes,al△b=|a*b,则 由~关于*的相容性,保证运算△的结 果与等价类的选取无关。称;凶为 IS;*的商结构或商系统。 例:zZ上模5同余关系 与代表元选取无关

• 对任意[a],[b]Š, [a][b]=[ab]，则 由~关于的相容性，保证运算的结 果与等价类的选取无关。称[Š;]为 [S;]的商结构或商系统。 • 例:Z上模5同余关系 • 与代表元选取无关

第十三章群 群是最简单的一类代数系统。群论 是近世代数中发展最早、内容最丰 富、应用最广泛的部分,也是建立 其他代数系统的基础

第十三章 群 • 群是最简单的一类代数系统。群论 是近世代数中发展最早、内容最丰 富、应用最广泛的部分, 也是建立 其他代数系统的基础

§1半群、拟群与群 半群和拟群 定义131:代数系统S;,当其二元运算 是可结合的,即对任ab,ceS有:a*(b*c) =(a*b)*c,则称该系统为半群。 例 定义132:设S;为半群,当*在S中有单 位元e,即对任意a∈S,有ae=e*a=a,称该 半群为含单位元半群或称为拟群 ( monoids)

§1半群、拟群与群 • 一、半群和拟群 • 定义13.1：代数系统[S;*],当其二元运算* 是可结合的,即对任 a,b,cS有 :a*(b*c) =(a*b)*c，则称该系统为半群。 • 例: • 定义13.2：设[S;*]为半群,当*在S中有单 位元e,即对任意aS,有:a*e=e*a=a，称该 半 群 为 含 单 位 元 半 群 或 称 为 拟 群 (monoids)

·例2=(x|=1,,n E+∑中元素组成的有限长度的非空字符串全体 运算 :0=a1…k5B=b1…b∈Σ B=a-…akb1…b∈2 [Σ+;·是半群,但没有单位元。 Σ:有限长度的字符串全体构成的集合, [Σ;是半群,为空串(即长度为0的字符串) a∈∑+,有·=λ●a=0, λ为单位元, 「Σ;是拟群

• 例:={xi |i=1,…,n} •  + :中元素组成的有限长度的非空字符串全体 • 运 算 • :=a1ak ,=b1bl+ ， •=a1akb1bl+ ， • [ + ;•]是半群，但没有单位元。 •  * :有限长度的字符串全体构成的集合， • [ * ;•]是半群，为空串(即长度为0的字符串)， • + ，有•=•=， • 为单位元， • [ * ;•]是拟群

二、群 1群的概念 定义133:|S;为拟群,当S中的每一个元素都 有逆元时称为群。 还可以更清楚地叙述为: S;是一个代数系统,为定义在S上的二元运算, 若满足: (1)对任意的a,bc∈S有a(b*c)=(a*b)c(结合律); (2)存在e∈S使ae=e*a=a(单位元); (3)对任意的a∈S,存在a∈S,使得a*a1=a1*a=e 则称|S;为群

二、群 • 1.群的概念 • 定义13.3：[S;*]为拟群,当S中的每一个元素都 有逆元时,称为群。 • 还可以更清楚地叙述为: [S;*]是一个代数系统,*为定义在S上的二元运算, 若满足: (1)对任意的a,b,cS有a*(b*c)=(a*b)*c(结合律); (2)存在eS,使a*e=e*a=a(单位元); (3)对任意的aS，存在a -1S,使得a*a-1=a-1*a=e 则称 [S;*]为群

IR-{0},×是群 IR,×不是群, 只是拟群 对于群[R-{0},×对任意a,b∈R-{0},有a×b=bxa, 满足交换律,交换群,阿贝尔群 如果群中的二元运算满足交换律称该群为可交 换群也称为网级尔4b群。 IR-{0},×Z;+1R;十1C;十等都是Abe群。 矩阵乘法群不是交换群, 原因 例:设e是群|G;的单位元,如果对任意x∈G, 有x*x=e,则G;*一定是4be群。 证明:

• [R-{0},]是群 • [R,]不是群, 只是拟群 • 对于群[R-{0},],对任意a,bR-{0},有ab=ba， 满足交换律，交换群，阿贝尔群 • 如果群中的二元运算满足交换律,称该群为可交 换群,也称为阿贝尔(Abel)群。 • [R-{0},],[Z;+],[R;+],[C;+]等都是Abel群。 • 矩阵乘法群不是交换群, • 原因: • 例：设e是群[G;*]的单位元，如果对任意xG， 有x*x=e，则[G;*]一定是Abel群。 • 证明:

设G={(x,y)xy∈R,x≠0},在G上定义二 元运算如下: (x,y)●(z2w)=(xz,xw+y)对任意(x,y),(z,w) P证明(G;◎)是群。 (G;●)是Abe群?

• 设G={(x, y)|x,yR，x 0}, 在G上定义二 元运算如下： • (x, y)●(z,w)=(xz, xw+y) 对任意(x,y),(z,w) G。 • 证明 (G; ●)是群。 • (G;●)是 Abel群?