复旦大学：《离散数学——代数结构与数理逻辑》PPT课件_08/29

定理141:[R计+米为环,则对任ab∈R, 有 (1)a*0=0*a=0 冷(2)a*(-b)=(-a)*b=(a+b) 冷(3)(-a)*(-b)=a*b 冷(4如果环有单位元,则(1)*a=a, (5如果环有单位元,则(-1)米(-1)=

❖ 定理14.1：[R;+,*]为环,则对任a,bR, 有: ❖ (1)a*0=0*a=0 ❖ (2)a*(-b)=(-a)*b=-(a*b) ❖ (3)(-a)*(-b)=a*b ❖ (4)如果环有单位元，则(-1)*a=-a, ❖ (5)如果环有单位元，则(-1)*(-1)=1

关于第1个运算的单位元0在第2个运算* 下,对任意a∈R,有a*0=0米=0。即0为*的 零元 称关于第个运算的单位元为环的零元。 如果环是有单位元的环,则将关于第2个 运算的单位元称为环的单位元。 说明:关于环的修饰都是对第二个运算 而言

❖ 关于第1个运算的单位元0在第2个运算* 下，对任意aR,有a*0=0*a=0。即0为*的 零元。 ❖ 称关于第1个运算的单位元为环的零元。 ❖ 如果环是有单位元的环，则将关于第2个 运算的单位元称为环的单位元。 ❖ 说明：关于环的修饰都是对第二个运算 而言

[M22(Z);+,灯]是有单位元的环。 b 2(Z)= a,b,c,d∈z} C 环的零元是(0)2×,23(1 环的单位元是 0 ≠(0) ≠(0 00 2×2 0 10Y/00 但 =(O)22环的零因子 00八0

[M2,2(Z);+,]是有单位元的环。 ❖ 环的零元是(0)2,2 , ❖ 环的单位元是 ( ) { | , , , } 2,2 a b c d Z c d a b M Z          =         1 1 ( )2 2 0 0 0 1 0          ( )2 2 0 0 1 0 0          ( ) 0 2 2 0 1 0 0 0 0 1 0  =                 但 环的零因子

定义143:R;+米为环,a,b∈R,a0,b≠0,但 a*b=0,则称为R的一个左零因子b为R的 个右零因子统称a,b为R的零因子。 R;+,*]为有单位元环,且有: 1)*满足交换律。 (2)R中没有零因子,即如果a*b=0,则a=0或 b=0, 就称R为磬环。 IP(S):,∩和[M;+,×都不是整环 「Z;+,×是整环

定义14.3：[R;+,*]为环,a,bR,a0,b0,但 a*b=0，则称a为R的一个左零因子,b为R的 一个右零因子,统称a,b为R的零因子。 [R;+,*]为有单位元环, 且有: (1)*满足交换律。 (2)R中没有零因子, 即如果a*b=0,则a=0或 b=0, 就称R为整环。 [P(S);,∩]和[M;+,]都不是整环 [Z;+,]是整环

定义:对于环[R;+,],对任意a,b,c∈R,a≠0, 当a米b=a*c,必有b=c,则称环满足消去律。 ◆定理:[R;+,*是无零因子环当且仅当[R;+,*] 满足消去律。 证明:1.[R;+,*]是无零因子环,要导出[R;+,*]满足消 去律即对任意a,b,c∈R,a≠0,当a=a*,必有b=c 因为0=(a*b)+((a米b))=(a*b)+(-(a米C) (a*b)+(a*(-c)=a*(b+(-c)) 这里利用了定理1412)a*(b)=(-a)*=-(a*b) 因为是无零因子环,且a≠0,所以有b+(-c)=0,因此b=c 2.[R;+,*]满足消去律,导出[R;+,*]是无零因子环 若存在a,b∈R,a≠0,b≠:0,而a+b=0,则a*b=a*0 因为a≠0,所以由消去律得b=0,矛盾

❖ 定义：对于环[R;+,*]，对任意a,b,cR,a0, 当a*b=a*c,必有b=c，则称环满足消去律。 ❖ 定理：[R;+,*]是无零因子环当且仅当[R;+,*] 满足消去律。 证明:1.[R;+,*]是无零因子环,要导出[R;+,*]满足消 去律.即对任意a,b,cR,a0,当a*b=a*c,必有b=c. 因为0=(a*b)+(-(a*b))=(a*b)+(-(a*c)) =(a*b)+(a*(-c))=a*(b+(-c)) 这里利用了定理14.1(2)a*(-b)=(-a)*b=-(a*b) 因为是无零因子环,且a0,所以有b+(-c)=0,因此b=c. 2.[R;+,*]满足消去律,导出[R;+,*]是无零因子环. 若存在a,bR,a0,b0,而a*b=0,则a*b=a*0, 因为a0,所以由消去律得b=0,矛盾

推论:[R;+,*]为整环,则其乘法满足消去律 冷定理:环区m;+,是整环当且仅当m是素数 冷对于只含有一个元素的环R={0}称为零环 此时0也是它的单位元。但当R≥2时如果 环R有单位元1则1≠0 .s Why 冷R≥2时如果环R有单位元1,则 环单位元≠环零元 只有一个元素的环是平凡环,其他的则为 非平凡环

❖ 推论:[R;+,*]为整环,则其乘法满足消去律。 ❖ 定理：环[Zm;+,*]是整环当且仅当m是素数。 ❖ 对于只含有一个元素的环R={0},称为零环, 此时0也是它的单位元。但当|R|2时,如果 环R有单位元1,则10。 ❖ Why? ❖ |R|2时,如果环R有单位元1,则 ❖ 环单位元环零元 ❖ 只有一个元素的环是平凡环，其他的则为 非平凡环

定义145:一个环[R;十,R≥2,如果满 足如下条件 (1)关于*有单位元; (2)每个非零元关于*有逆元。 称为除环

❖ 定义14.5：一个环[R;+,*],|R| 2,如果满 足如下条件 (1)关于*有单位元; (2)每个非零元关于*有逆元。 称为除环

如果一个除环又是可交换时,称为域。 z;+,*是整环不是域 对于实数集RR;+,×是域,[Q;+,*[C;+,* 域 实数域有理数城复数域

如果一个除环又是可交换时, 称为域。 [Z;+,*]是整环,不是域 对于实数集R,[R;+,]是域,[Q;+,*],[C;+,*] 域 实数域,有理数域,复数域

今域的定义 (1)[F;+是Abe群 (2)F0}*]是Abel群 (3)对任意的ab,c∈F,有 a*(b+c=(a*b)+(a*c) 冷[z;,是整环但不是除环也不是域 [Q;+,×],[R;+灯]这里R表示实数集 c;+,]都是域

❖ 域的定义: (1)[F;+]是Abel群 (2)[F-{0};*]是Abel群 (3)对任意的a,b,cF,有 a*(b+c)=(a*b)+(a*c) ❖ [Z;+,]是整环,但不是除环,也不是域. ❖ [Q;+,], [R;+,](这里R表示实数集), [C;+,]都是域

定理:域[F;+,满足消去律。 冷推论:域[;]一定是整环。 证明:无零因子环当且仅当环满足消去律。 而整环的定义是单位元,无零因子,可交换。 根据定理可知域[;+,灯满足消去律,因此域 F;+满足消去律是无零因子环,所以域 [F;+,为]一定是整环。 无零因子环当且仅当满足消去律。 整环单位元,无零因子可交换 该结论的逆不一定成立。 冷[z;+×]是整环,但不是域。但若是有限整 环则结论成立

❖ 定理：域[F;+,*]满足消去律。 ❖ 推论：域[F;+,*]一定是整环。 ❖ 证明：无零因子环当且仅当环满足消去律。 而整环的定义是:单位元,无零因子,可交换。 根据定理可知域[F;+,*]满足消去律，因此域 [F;+,*]满足消去律是无零因子环，所以域 [F;+,*]一定是整环。 ❖ 无零因子环当且仅当满足消去律。 整环:单位元,无零因子,可交换 ❖ 该结论的逆不一定成立。 ❖ [Z;+,]是整环，但不是域。但若是有限整 环则结论成立