一、基本概念 1代数系统 运算,Sn→S的映射称为S上的n元运算 代数系统:一个非空集合S,与一个或若干 个定义在S上的运算Q1…,Q(K≥1),就构成 了一个代数系统,表示为[s;Q1,Q 单位元,结合律,交换律,逆元,零元, 分配律 同态,同构
❖ 一、基本概念 ❖ 1.代数系统 ❖ 运算， Sn→S的映射称为S上的n元运算 ❖ 代数系统：一个非空集合S,与一个或若干 个定义在S上的运算Q1 ,…,Qk (k1),就构成 了一个代数系统, 表示为 [S;Q1 ,…,Qk ]。 ❖ 单位元，结合律，交换律，逆元，零元， 分配律 ❖ 同态，同构
2相容 冷设“~”为S上的等价关系,“*”为S上 的二元运算。若对任意a,b,c,d∈S,当 a~b,c~时,必有a*C~b*d,则称等价 关系~与运算*是相容的,称~为代数系 统[s;*的相容等价关系。 3半群,拟群,群 有关定理 4元素的阶和群的阶 定义,结论
❖ 2.相容 ❖ 设“~”为S上的等价关系，“*” 为S上 的二元运算。若对任意a,b,c,dS，当 a~b，c~d时，必有ac~bd，则称等价 关系~与运算 是相容的，称~为代数系 统[S;]的相容等价关系。 ❖ 3.半群，拟群，群 ❖ 有关定理 ❖ 4.元素的阶和群的阶 ❖ 定义,结论
5子群与陪集 冷概念,定理,陪集的实质 6商群与群同态基本定理 7环的基本概念 环的零元环的单位元交换环 在环中讨论元素可逆 1u=(1-)(1++u2+,+U1 ÷8特征数 整环的特征数9子环,理想,商环 9主理想,主理想环 10多项式环
❖ 5.子群与陪集 ❖ 概念,定理,陪集的实质 ❖ 6.商群与群同态基本定理 ❖ 7.环的基本概念 ❖ 环的零元,环的单位元,交换环 ❖ 在环中讨论元素可逆 ❖ 1-un=(1-u)(1+u+u2++un-1 ) ❖ 8.特征数 ❖ 整环的特征数9.子环，理想，商环 ❖ 9.主理想,主理想环 ❖ 10.多项式环
11扩域与单扩域 线性空间与域的关系 素域 12代数元与代数扩域 极小多项式 13根域 冷根域的存在性与唯一性(同构意义下) 14.有限域,形式微商 15本原元与本原多项式
❖ 11.扩域与单扩域 ❖ 线性空间与域的关系 ❖ 素域 ❖ 12.代数元与代数扩域 ❖ 极小多项式 ❖ 13.根域 ❖ 根域的存在性与唯一性(同构意义下) ❖ 14.有限域，形式微商 ❖ 15.本原元与本原多项式
、证明及判别、计算 1群 元素阶与群的阶 陪集与划分,拉格朗日定理应用特别是补充证明的 些结论。 冷子群,正规子群的验证和证明 冷设~是群G上的等价关系并且对于G的任意三个元素 a,x,x2若ax~ax:则必有x~x。证明:与G中单位 元等价的元素全体构成G的一个子群 冷H={x∈G|X~e 对任意的x∈H,xe=x~e=xx1,因此有 x1,所以x1∈H 冷对任意的xy∈H,有x~e,y~e, 即x1xy=ey~e=x1x,因此有xy~x~e, 冷所以xy∈H 用群同态基本定理证明群同构
❖ 二、证明及判别、计算 ❖ 1.群 ❖ 元素阶与群的阶 ❖ 陪集与划分,拉格朗日定理应用,特别是补充证明的 一些结论。 ❖ 子群，正规子群的验证和证明 ❖ 设是群G上的等价关系,并且对于G的任意三个元素 a,x,x‘，若axax’则必有x x‘。证明：与G中单位 元等价的元素全体构成G的一个子群。 ❖ H={xG|xe} ❖ 对任意的xH，xe=xe=xx-1 ，因此有 ❖ ex -1 ，所以x -1H， ❖ 对任意的x,yH，有xe，ye， ❖ 即x -1xy=eye=x-1x，因此有xyxe， ❖ 所以xyH ❖ 用群同态基本定理证明群同构
2环 理想,子环的判别 设环R存在唯一一个右单位元,证明该环 一定存在单位元 e为右单位元,对任意的a∈R, (era-a+e),设法证明(eaa+e也是右单位元 冷设A是环R的理想,B是R的子集,B={b 对任意a∈A,ba=0},证明:B是环R的理 想 商环中的元素表示 今零因子 用环同态基本定理证明环同构 求多项式的逆
❖ 2.环 ❖ 理想,子环的判别 ❖ 设环R存在唯一一个右单位元，证明该环 一定存在单位元。 er为右单位元，对任意的a∈R， (era-a+er )，设法证明(era-a+er )也是右单位元 ❖ 设A是环R的理想，B是R的子集， B={b| 对任意aA, ba=0}，证明：B是环R的理 想。 ❖ 商环中的元素表示 ❖ 零因子 ❖ 用环同态基本定理证明环同构 ❖ 求多项式的逆
3域 冷扩域代数元 求√3+√5在有理数域上的极小多项式 4根域 确定根域及扩张次数 ☆有限域的根域存在性,唯一性证明方法 重根与形式微商 Z上n次不可约多项式根域 定理z上的n次不可约多项式f(x)的根域 是GF(p=Zpa)
❖ 3.域 ❖ 扩域,代数元 ❖ 求 在有理数域上的极小多项式. ❖ 4.根域 ❖ 确定根域,及扩张次数 ❖ 有限域的根域存在性,唯一性证明方法 ❖ 重根与形式微商 ❖ Zp上n次不可约多项式根域 ❖ 定理:Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域 是GF(pn )=Zp () 3 + 5
5本原元与本原多项式 有关定理和结论的证明 冷GF(p")的表述化简 冷求出所有本原元本原多项式 已知a为GF(p")上的本原元,怎样求出 GF(p)上的所有本原元? GF*(p)中的每个元素可表示为c的幂次 形式a。由习题1419知,α的阶为pn-1 当且仅当(k,p-1)=1,即ak为本原元当 且仅当(k,p-1)=1。因此我们就可在 a,a2,0p中找出所有的本原元
❖ 5.本原元与本原多项式 ❖ 有关定理和结论的证明 ❖ GF(pn )的表述,化简 ❖ 求出所有本原元,本原多项式 ❖ 已知为GF(pn )上的本原元，怎样求出 GF(pn )上的所有本原元？ ❖ GF*(pn )中的每个元素可表示为的幂次 形式k 。由习题14.19知，k的阶为pn -1 当且仅当(k, pn -1)=1，即k为本原元当 且仅当(k, pn -1)=1。因此我们就可在 ,2 ,pn-1中找出所有的本原元
已知z上的一个n次本原多项式f(x),怎样求出 所有的n次本原多项式? 1.a为本原多项式f(x)的根则有 s f(x =(x-a)(x-oxP)x-aP2).(x-aP) 2已知zp上的一个n次本原多项式f(x),求所有n 次本原多项式的方法是: 冷(1)先求出f(x)的一个根,即本原元a,然后求出 GF(p)中的所有本原元, 冷(2)根据求出的本原元按结论1中的方法构造其 他本原多项式 3凡不可约多项式若有一个根是本原元则它的 所有根都是本原元即它一定是本原多项式
❖ 已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),怎样求出 所有的n次本原多项式? ❖ 1. 为本原多项式f(x)的根,则有 ❖ f(x)=(x-)(x-p)(x-p 2 )(x-p n-1 ) ❖ 2.已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),求所有n 次本原多项式的方法是: ❖ (1)先求出f(x)的一个根,即本原元,然后求出 GF(pn)中的所有本原元, ❖ (2)根据求出的本原元按结论1中的方法构造其 他本原多项式. ❖ 3.凡不可约多项式若有一个根是本原元,则它的 所有根都是本原元,即,它一定是本原多项式
已知x4+x+1是Z2上的本原多项式设a是 X4x+1的根,(1求出GF(16)上的所有本原元, 并用a的幂次形式表示2)求出Z2上的所有四次 本原多项式。 与15互质:1,2,4,7,8,11,13,14 c c c 3c5 冷(x-0x)(X-a2)(x-4)(X-a8 (x-07)(X-(x22)(X-(07)2)(x-a7)2) 公=(x-07)(X-14)(X-013)(X-01
❖ 已知x 4+x+1是Z2上的本原多项式,设是 x 4+x+1的根, (1)求出GF(16)上的所有本原元， 并用的幂次形式表示.(2)求出Z2上的所有四次 本原多项式。 ❖ 与15互质：1，2，4，7，8，11，13，14 ❖ ，2 ， 4 ， 7 ， 8 ， 11 ， 13 ， 14 ， ❖ (x-)(x- 2 )(x- 4 )(x- 8 ) ❖ (x-7 )(x- (7 ) 2 )(x- (7 ) 2 2 )(x-(7 ) 2 3 ) ❖ =(x-7 )(x- 14)(x- 13)(x-11)