复旦大学：《离散数学——代数结构与数理逻辑》PPT课件_11/29

§4理想与商环 一、理想 定义1413:R;+,为环,若I≠,∈R关于+ 运算满足条件: (1)任a,b∈I,a-b∈I (2)任a∈,r∈Rar,ra∈I 称[;+为|R;+,的理想,当≠0},R时是真 理想否则就是平凡理想

§4 理想与商环 ▪ 一、理想 ▪ 定义14.13：[R;+,*]为环, 若I ,IR,关于+,* 运算满足条件: ▪ (1)任a,bI,a-bI ▪ (2)任aI,rR,a*r,r*aI ▪ 称[I;+,*]为[R;+,*]的理想,当I{0},IR时是真 理想,否则就是平凡理想

例:[nZ;+,×是整数环[Z;+,x的理想。 例:[R;+,为单位元交换环,任取元素 a∈R,作R的子集:(a)={a*rreR},则 I(a);+,为R;计+,的理想 若[R;+,是不含单位元的交换环,对任 意a∈R,作子集(a)={a*rnar∈R,n∈Z} 则[(a);+,为[R;+,的理想。 这样的理想a)={ a*r+nar∈R,n∈公称为 由元素a生成的主理想

▪ 例：[nZ;+,]是整数环[Z;+,]的理想。 ▪ 例：[R;+,*]为单位元交换环，任取元素 aR ， 作 R的 子 集 ： (a)={a*r|rR}, 则 [(a);+,*]为[R;+,*]的理想。 ▪ 若[R;+,*]是不含单位元的交换环，对任 意aR，作子集(a)={a*r+na|rR,nZ}, 则[(a);+,*]为[R;+,*]的理想。 ▪ 这样的理想 (a)={a*r+na|rR,nZ}称为 由元素a生成的主理想

由a生成的理想: 有单位元的交换环,(a)={arr∈R} 无单位元的交换环,(a)={a*rnar∈R} 定理:设S≠,S∈R,定义(S)为满足如下条件的 最小子集: (1)a∈S,则a∈(S) (2)a,b∈(S),则a-b∈(S) (3)a∈(S),r∈R,则a*r,r*a∈(S) 则[(S);+,是环[R;+,的理想。 定义:设S≠S∈R,S为满足上述定理条件的 最小子集,则称I(S);+,是环R;+,的由S生成 的理想

▪ 由a生成的理想： 有单位元的交换环，(a)={a*r|rR} 无单位元的交换环，(a)={a*r+na|rR} ▪ 定理：设S,SR,定义(S)为满足如下条件的 最小子集: ▪ (1)aS,则a(S) ▪ (2)a,b(S),则a-b(S) ▪ (3)a(S),rR,则a*r,r*a(S) ▪ 则[(S);+,*]是环[R;+,*]的理想。 ▪ 定义：设S,SR,(S)为满足上述定理条件的 最小子集,则称 [(S);+,*]是环[R;+,*]的由S生成 的理想

定义1414:环R中一个元素生成的理想 称为该环的主理想。如果一个环的所有 (真)理想是主理想,则称该环为主理想环 例:[Z;+,是主理想环。 分析:关键是证明对任意理想D都能找到 生成元 证明若D={0}成立 若D≠{0},则设法找生成元 取D中绝对值最小的非零元b, 证明b是D的生成元

▪ 定义14.14:由环R中一个元素生成的理想 称为该环的主理想。如果一个环的所有 (真)理想是主理想，则称该环为主理想环 ▪ 例：[Z;+,*]是主理想环。 ▪ 分析:关键是证明对任意理想D,都能找到 生成元. ▪ 证明:若D={0},成立. ▪ 若D{0},则设法找生成元. ▪ 取D中绝对值最小的非零元b, ▪ 证明b是D的生成元

定理1413:域F上的多项式环Fx是主理 想环。 分析:与前面证明方法类似 证明若I={0}成立 对于I≠{0}的理想其生成元是什么呢? 对多项式则应取I中非零的、多项式次数 最小的p(x) 这样就要证明对任一理想可表示成 {p(x)f(x)|x)∈FKxl,p(x)为该理想中次数最 的} 需要利用定理148 定理148:对f(x)∈F|x,g(x)∈F|xl,g(x)≠0,存在唯 的q(x)r(x)∈FKxl,degr(x)<degg(x)或r(x)=0使得: f(x)=g(x)q(x)+r(x)

▪ 定理14.13：域F上的多项式环F[x]是主理 想环。 ▪ 分析:与前面证明方法类似. ▪ 证明:若I={0},成立 ▪ 对于I{0}的理想,其生成元是什么呢? ▪ 对多项式,则应取I中非零的、多项式次数 最小的p(x). ▪ 这样就要证明对任一理想,可表示成 ▪ {p(x)f(x)|f(x)F[x],p(x)为该理想中次数最 小的}. 需要利用定理14.8 定理14.8：对f(x)F[x],g(x)F[x], g(x)0,存在唯一 的q(x),r(x)F[x], degr(x)<degg(x)或r(x)=0,使得: f(x)=g(x)q(x)+r(x)

二、商环 设[;+,是环R;+,的理想 [;+为[R;+的正规子群, 在R中作的陪集Ir={iri∈I}o I+r=r+I 子群的性质知对任两元r≠r2,r1r2∈R,总 有Hr1=+r2,(r1)n(+r2)=④或 I+r =I+ 构造R的一个商集R={I+rr∈R}

▪ 二、商环 ▪ 设[I;+,*]是环[R;+,*]的理想， ▪ [I;+]为[R;+]的正规子群, ▪ 在R中作I的陪集I+r={i+r|iI}。 ▪ I+r=r+I ▪ 子群的性质知:对任两元r1r2 , r1 ,r2R,总 有|I+r1 |=|I+r2 |, (I+r1 )∩(I+r2 )=或 I+r1=I+r2 ▪ 构造R的一个商集:R/I={I+r|rR}

在R上定义为: (I+r1)(I+r2)=l+(r1+r2) 定义⑧为: (I+r1)8(I+r2)=l+(r1*r2) 定理1414如上述定义的R;⊕,为环 证明因为关于+是R的正规子群,因此 R:不仅是代数系统而且是群 又因为R;+是交换群故R/;也是交换 群 下面考察R⑧是否为代数系统半群 ⑧关于⊕是否满足分配律

▪ 在R/I上定义为: (I+r1 )(I+r2 )=I+(r1+r2 ) 定义为: (I+r1 )(I+r2 )=I+(r1*r2 ) ▪ 定理14.14:如上述定义的[R/I;,]为环 证明:因为I关于+是R的正规子群,因此 [R/I;]不仅是代数系统,而且是群. 又因为[R;+]是交换群,故[R/I;]也是交换 群. 下面考察[R/I;]是否为代数系统,半群 关于是否满足分配律

定义1415:设[;,为环[R;+,的理想, 称[R:⑧为环R;+灯关于理想的商环 简记为R或R。 设[F〖x]:+,是域F上的多项式环 p(x)∈F(x),且degp(x)=n>0,则 (p(x)={p(x)*h(x)h(x)∈F(x是多项式 环的理想 FKx](p(x):,⑧是商环其零元(的单位 元)是(p(x)+0,其单位元是(p(x)+1,这里 0是F的零元,1是F[×]的单位元

▪ 定义14.15：设[I;+,*]为环[R;+,*]的理想, 称[R/I;,]为环[R;+,*]关于理想I的商环, 简记为R/I或R-I。 ▪ 设[F[x];+,*]是域F上的多项式环, p(x)F(x), 且degp(x)=n>0,则 (p(x))={p(x)*h(x)|h(x) F(x)}是多项式 环的理想. ▪ [F[x]/(p(x));,]是商环,其零元(的单位 元)是(p(x))+0, 其单位元是(p(x))+1,这里 0是F[x]的零元,1是F[x]的单位元

Fx(p(x)=()+∑ax2|a1∈Fi=1,…n

▪ F[x]/(p(x))= {(p(x)) a x | a F,i 1, n} i n 1 i 1 i +  i  =  − =

[Z2[×;,是Z2上的多项式环。取p(x)= x2+x+1则zx](p(x)={p(x),(p(x)+1 (p(x)+x,(p(x)+(x+1)简化为{0,1,x,x+1} x+1 ⊕01x 001x X+1 0 x+1 x+1 0 x+1 X+1 x+1 01x 0000 0 0 x+1 x+1 x+1 X+1

▪ [Z2 [x];+,*]是Z2上的多项式环。取p(x)= x 2+x+1,则:Z2 [x]/(p(x))={(p(x)), (p(x))+1, (p(x))+x,(p(x))+(x+1)},简化为{0,1,x,x+1}  0 1 x x+1 0 0 1 x x+1 1 1 0 x+1 x x x x+1 0 1 x+1 x+1 x 1 0  0 1 x x+1 0 0 0 0 0 1 0 1 x x+1 x 0 x x+1 1 x+1 0 x+1 1 x