复旦大学：《离散数学——代数结构与数理逻辑》PPT课件_05/29

陪集 例:三次对称群S3={e,o1,2,3,o4o5} 的所有非平凡子群是: H={e,o};H2={e,o2};H3={e,o3} H4={e,o4o5}。其中H就是三次交代群 A3。现在考察H的陪集

▪ 陪集 ▪ 例：三次对称群S3={e,1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 的所有非平凡子群是: ▪ H1={e, 1 }; H2={e, 2 }; H3={e, 3 }; H4={e, 4 , 5 }。其中H4就是三次交代群 A3。现在考察H1的陪集

eH1=o1H1=H1;σ2H1=5H1={2o5} 3H1=4H1={o3,o4H;H1e=H1o1=H H1o2=H1o4={o2,o4};H1o3=H1o5={3,o5} 显然G2H1≠H1①2,05出H1件H105,03H1≠H1o3, O,+ 这说明左、右陪集一般不等

e H1=1H1=H1 ; 2H1=5H1={2 , 5 } 3H1=4H1={3 , 4 };H1e =H11=H H12=H14={2 , 4 };H13=H15={3 , 5 } 显然2H1H12 , 5H1H15 , 3H1H13 , 4H1H14 ▪ 这说明左、右陪集一般不等

引理131:如果HG是子群那么任 g∈G所构成的陪集gH=H,|Hg|=|H| 分析:证明基数相等的一种方法是证明两个 集合之间存在双射 证明:定义映射φ:H→Hg, cp(h)=h*g 利用群消去律证明是一对一的 而满射是显然的因为对任意的h*g∈Hg,有 op(h)=h*g

▪ 引理13.1：如果HG是子群,那么任一 gG所构成的陪集|gH|=|H|, |Hg|=|H|。 分析:证明基数相等的一种方法是证明两个 集合之间存在双射. 证明:定义映射:H→Hg, (h)=hg 利用群消去律证明是一对一的. 而满射是显然的,因为对任意的hgHg, 有 (h)=hg

引理132:H为G的子群g1292∈G,两个右 陪集Hg1与Hg2则:或HgHg2,或 Hg,nHg2=。 证明利用等价类的性质 例:设[H;*是群[G;*的子群,则 (1)若b∈aH,则bH=aH (2)若b∈Ha,则Hb=Ha 由等价类的概念和性质即得

▪ 引理13.2：H为G的子群,g1 ,g2G,两个右 陪集Hg1与Hg2 ,则: 或Hg1=Hg2 ,或 Hg1∩Hg2=。 ▪ 证明:利用等价类的性质. ▪ 例：设[H;]是群[G;]的子群，则 (1)若baH，则bH=aH (2)若bHa，则Hb=Ha 由等价类的概念和性质即得

三、拉格朗日定理 定理:G是群H是G的子群则H在G中 的左陪集数与右陪集数相等 证明:设S和T分别为G的关于H的所有右 和左陪集的集合。现在要证明的是 S|=|T。考虑证明存在S→T的双射 定义1314:H为G的子群关于H的所有 不同的左(右)陪集数叫做H在G中的指数。 [E;+]是[z;+]的子群,E在Z中指数?

三、拉格朗日定理 ▪ 定理:G是群,H是G的子群,则H在G中 的左陪集数与右陪集数相等. 证明：设S和T分别为G的关于H的所有右 和 左 陪 集 的 集 合 。 现 在 要 证 明 的 是 |S|=|T|。考虑证明存在S→T的双射。 ▪ 定义13.14：H为G的子群,关于H的所有 不同的左(右)陪集数叫做H在G中的指数。 ▪ [E;+]是[Z;+]的子群，E在Z中指数？

定理1317:G为有限群H为其子群,则H 的阶可以整除G的阶其相除的商就是H在 G中的指数k。 例:设a为有限群G;]的元素,则a的阶整 除|G 推论138:G为有限群,阶为素数p,则 G;是循环群

▪ 定理13.17：G为有限群,H为其子群, 则H 的阶可以整除G的阶,其相除的商就是H在 G中的指数k。 ▪ 例：设a为有限群[G;*]的元素，则a的阶整 除|G|。 ▪ 推论13.8：G为有限群，阶为素数p，则 [G;*]是循环群

≠0,a,b,c,d∈R} C H ≠0,a,b,c,d∈Q} c a 2a b /2c d b,c,d∈Q 20 √2a√2b a,b,c,d∈Q 0 左右陷集不等 而z5+R;+子君对任意的 a∈R,a+Z=Z+a,左右陷集相 正规子群

{ | 0,a,b,c,d R} c d a b c d a b G           = { | 0,a,b,c,d Q} c d a b c d a b H           = | a, b, c,d Q} 2c d 2a b H { 0 1 2 0          =         | a, b, c,d Q} c d 2a 2b { 0 1 2 0 H          =         正规子群 左右陪集相同 而 是 的子群但对任意的 左右陪集不等 a R, a Z Z a, [Z; ] [R; ] ,  + = + + +

四、正规子群 定义1315:H为群G的子群当对任意的 g∈GgH=Hg称H为G的正规子群也可称 为不变子群。 例:任意Abe群的子群都是正规子群。 三次对称群S3={eoσ2,o3,4o5}的所 有非平凡子群是:H1={e,o;H2={e,o2} H3={e,o3;H={e,o4,os}。其中只有H4 是正规子群

四、正规子群 ▪ 定义13.15：H为群G的子群,当对任意的 gG,gH=Hg,称H为G的正规子群,也可称 为不变子群。 ▪ 例：任意Abel群的子群都是正规子群。 ▪ 三次对称群S3={e,1 , 2 , 3 , 4 , 5 }的所 有非平凡子群是: H1={e, 1 }; H2={e, 2 }; H3={e, 3 }; H4={e, 4 , 5 }。其中只有H4 是正规子群

(1)H为正规子群,则应对G中每个元素g 都有Hg=gH (2正规子群的前提要求是H为子群。 (3)Hg=gH是表示两个集合相等,并不意 味着hg=gh,完全有可能Hg=gH,但hg≠gh (4)Hg=gH是指,对任意h∈H,总存在 h'∈H,使得hg=gh

▪ (1)H为正规子群，则应对G中每个元素g 都有Hg=gH ▪ (2)正规子群的前提要求是H为子群。 ▪ (3)Hg=gH是表示两个集合相等，并不意 味着hg=gh,完全有可能Hg=gH,但hggh。 ▪ (4)Hg=gH是指，对任意hH，总存在 h'H ，使得hg=gh

定理1318:H是G的子群,它又是正规的, 当且仅当对任g∈GheH有ghg∈H。 设G={(x;y)xy∈R,x≠0},在G上定义二 元运算如下: (x,y)●(z,w)=(x,xwy)对任意(x,y),(z,w) ∈G。H={(1,y)y∈R 证明(;●是群(G;●的正规子群

▪ 定理13.18：H是G的子群, 它又是正规的, 当且仅当,对任gG,hH,有g-1hgH。 ▪ 设G={(x; y)|x,yR，x 0}, 在G上定义二 元运算如下： ▪ (x, y)●(z,w)=(xz, xw+y) 对任意(x,y),(z,w) G。H={(1,y)|yR} ▪ 证明 (H; ●)是群(G;●) 的正规子群