1集 ∈yc S1={a}S2={{aS3={a,{a} a∈S2,S 3 1S3 {a}∈S3,S2cS3 S1 S1∈S ∈3b1 29 集合的运算
1.集合 ， S1={a},S2={{a}},S3={a,{a}} aS3 , S1 S3 {a}S3 ,S2 S3 , S1S3 , S1S2 , 集合的运算
2关系 A上二元关系性质 自反,反自反,对称,反对称,传递 T1={(1,2),(1,3}是传递的 T2={(1,1)传递 T3={(1,2),2,3)、(1,3)}传递 T4={(1,2)2,3)(1,3)2,1)(1,1)}? 因为(2,1)∈T4(1,2)∈T4 而(2,2)gT4 所以T4不是传递的 等价关系,偏序关系
2.关系 A上二元关系性质 自反，反自反，对称，反对称，传递 T1={(1,2),(1,3)} 是传递的 T2={(1,1)} 传递 T3={(1,2),(2,3),(1,3)} 传递 T4={(1,2),(2,3),(1,3),(2,1),(1,1)} ? 因为(2,1)T4 , (1,2)T4 , 而(2,2)T4 所以T4不是传递的 等价关系,偏序关系
自反,对称传递闭包 要求掌握: (1)正确判定是否为自反,反自反,对称,反对 称,传递,等价关系偏序关系, 等价类,划分,划分的和与积 (2)计算闭包 (3)画Hast图(难度不低于习题239) (4)证明:如讲过的例子和做过的作业及定理; 讨论rst(R),srt(R),rts(R),rs(R),tsr(R),str(R)它 们的关系; 证明给定的是划分
自反,对称,传递闭包 要求掌握: (1)正确判定是否为自反，反自反，对称，反对 称，传递,等价关系,偏序关系, 等价类,划分,划分的和与积. (2)计算闭包 (3)画Hasse图（难度不低于习题2.39) (4)证明:如讲过的例子和做过的作业及定理; 讨论rst(R),srt(R),rts(R),trs(R), tsr(R), str(R)它 们的关系; 证明给定的是划分
3函数 概念,满射,入射,双射象集复合函数 要求掌握 (1)判别是否为函数,满射入射双射 (2)有关证明 (3)构造双射
3.函数 概念,满射,入射,双射,象集.复合函数 要求掌握 (1)判别是否为函数,满射,入射,双射 (2) 有关证明. (3)构造双射
4无限集 无限集的基本特征子集的基数=集合的基数 可列集不可列集 要求掌握: 定理416康托尔定理定理410,定理414,定 理49和“定理:设F是0,1上一切实函数集, 则F的基数不是N,也不是c(1)” 对于一切有限集,其幂集也是有限集, P(A)2AI 可列集是基数最小的无限集
4.无限集 无限集的基本特征,子集的基数=集合的基数 可列集,不可列集 要求掌握: 定理4.16(康托尔定理),定理4.10,定理4.14,定 理4.9和“定理:设F是[0,1]上一切实函数集, 则F的基数不是0 ,也不是c(1 ).” 对于一切有限集,其幂集也是有限集， |P(A)|=2|A| 可列集是基数最小的无限集
可列集之间的差是否仍是可列集 无限集之间的差是否仍是无限集 证明基数相等的方法: 构造双射 分别构造两个内射
可列集之间的差是否仍是可列集 无限集之间的差是否仍是无限集 证明基数相等的方法: 构造双射 分别构造两个内射
5.鸽笼原理关键是构造鸽子和笼子 6排列与组合 注意区分有序和无序选取 环排列 多重集的排列与组合的求解方法 公式包含排斥原理生成函数方法 利用包含排斥原理求有限制条件的排列组合问题 有序划分和无序划分 求方程整数解与组合问题的联系,注意化到标准 形式 e=1+x+x2/2!+.+xn!+…; x+x2/2!+,+x"/n!+.=e-1; ex=1-x+x2/2!+…+(-1)x"n!+…; 1+x2/2!+…,+x2u(2n)!+…=(ex+ex)2; x+x3/3!+.,+x2n+(2n+1)+..=(ex-e)/2;
5. 鸽笼原理,关键是构造鸽子和笼子 6.排列与组合 注意区分有序和无序选取 环排列 多重集的排列与组合的求解方法: 公式,包含排斥原理,生成函数方法 利用包含排斥原理求有限制条件的排列组合问题 有序划分和无序划分 求方程整数解与组合问题的联系,注意化到标准 形式 e x=1+x+x2 /2!+…+xn /n!+…; x+x2 /2!+…+xn /n!+…=ex -1; e -x=1-x+x2 /2!+…+(-1)nx n /n!+…; 1+x2 /2!+…+x2n/(2n)!+…=(ex+e-x )/2; x+x3 /3!+…+x2n+1/(2n+1)!+…=(ex -e -x )/2;
7递推关系 建立递推关系 用特征根方法和生成函数方法求递推关 系
7.递推关系 建立递推关系 用特征根方法和生成函数方法求递推关 系
1设是集合A到集合A的内射,但不 是满射,求A的最小基数,说明理由。 2一个人步行了11小时,共走了45公里, 已知他第一小时走6公里,而最后一小时 只走了3公里,用鸽笼原理证明:一定存 在连续3个小时,使得在这3个小时内至 少走了12公里
1.设f是集合A到集合A的内射，但不 是满射，求A的最小基数,说明理由。 2.一个人步行了11小时，共走了45公里， 已知他第一小时走6公里，而最后一小时 只走了3公里，用鸽笼原理证明：一定存 在连续3个小时，使得在这3个小时内至 少走了12公里