定理41设实数a,b且a<b,则 a,blla,b),(a,b],(a,b)的基数均为c 实数集R的基数 (0,1)到R的双射f:fx)=tg(mx/2) R|=(0,1)=c 线段上的点数和实数轴上的点数是一样 的 整数集,非负整数集,正整数集,有理 数集它们的基数是 实数集为N 无理数集?
定理4.11:设实数a,b且a<b,则 [a,b],[a,b),(a,b],(a,b)的基数均为c。 实数集R的基数 (0,1)到R的双射f: f(x)=tg(x-/2) |R|=|(0,1)|=c 线段上的点数和实数轴上的点数是一样 的 整数集，非负整数集，正整数集，有理 数集它们的基数是0 实数集为 无理数集?
设P表示无理数集 R=P∪Q, Q|=×0, 由定理410知 定理410:设A是有限集或可列集,B是任一无限集,则AUB=Bl R|=P∪Q|=P|, P的基数是。 定理:两两不相交的可列个基数为c的集 合的并集,它的基数也是c。 设E1,E2,,En…,是两两不相交的基数为c的集 合S=UE1 构造S到|0,1)之间的双射也要寻找依托 利用E与|c,d)存在双射来实现
设P表示无理数集 R=P∪Q, |Q|=0 , 由定理4.10知， 定理4.10:设A是有限集或可列集,B是任一无限集, 则|A∪B|=|B|。 |R|=|P∪Q|=|P|, P的基数是。 定理：两两不相交的可列个基数为c的集 合的并集，它的基数也是c。 设E1 , E2 ,…,En ,…是两两不相交的基数为c的集 合.S= ∪Ek 构造S到[0,1)之间的双射,也要寻找依托. 利用Ei与[c,d)存在双射来实现
在无限集中有基数为N0,c,还有其他基数 吗? 定理设F是|0,1上一切实函数集,则F的 基数不是冷,也不是c 证明:(1)F的基数不是N (2)F的基数不是c 定义:[0,1上一切实函数集的基数为,也 记为的2 现在有,1,的2能否类似于数进行比 较?
在无限集中,有基数为0 ,c,还有其他基数 吗? 定理:设F是[0,1]上一切实函数集,则F的 基数不是0 ,也不是c. 证明:(1) F的基数不是0 (2)F的基数不是c. 定义: [0,1]上一切实函数集的基数为f,也 记为2 . 现在有0 , 1 , 2 ,能否类似于数进行比 较?
44基数的比较 定义46:设A和B是两个集合,若存在从 A到B的内射,则称A的基数小于或等于B 的基数记为A至B或B≡A。若 |B⊥且AB|B,则称A的基数小于B的 基数,记为A<Bl 定理42:设A,B,C是任意集合,那么 (1)若AcB则As|B (2)若A||BB至C则AC
4.4 基数的比较 定义4.6：设A和B是两个集合, 若存在从 A到B的内射, 则称A的基数小于或等于B 的基数,记为|A|≦|B|或|B|≧|A|。若 |A|≦|B|且|A|≠|B|, 则称A的基数小于B的 基数, 记为|A<|B|。 定理4.12：设A,B,C是任意集合, 那么 (1)若AB,则|A|≦|B|。 (2)若|A|≦|B|,|B|≦|C|,则|A|≦|C|
推论:若A是无限集,则NA| 可列集是无限集中基数最小的 0,1是无限集,且0,1|=c≠N, 所以c>N0 定理413(蔡罗 Zermelo定理):设A和B 是任意两个集合,那么|<BBA,A= B三者中恰有一个成立。 对于基数集,对于基数集上任一元素A|,因为 AcA,则A至A,自反。 由定理412(2)若A|s|BBsC则AC知 传递, 是否反对称呢?
推论:若A是无限集,则|N|≦|A|。 可列集是无限集中基数最小的 [0,1]是无限集，且|[0,1]|=c0 , 所以c>0 定理4.13(蔡梅罗(Zermelo)定理 ):设A和B 是任意两个集合, 那么|A|<|B|,|B|<|A|,|A|= |B|三者中恰有一个成立。 对于基数集，对于基数集上任一元素|A|，因为 AA,则|A|≦|A|，自反。 由定理4.12(2)(若|A|≦|B|,|B|≦|C|,则|A|≦|C|)知 传递， 是否反对称呢？
定理414(伯恩斯坦( F. Bernstein)定理:设 A和B是两个集合,若A|B又围BA,则 AFB 由此定理知,基数集上的≡关系是偏序关 系,又由定理413知,任意两个集合的基数 都是可比较的,因此还是全序关系 利用存在A到B的内射和B到A的内射来 构造A与B之间的双射
定理4.14(伯恩斯坦(F.Bernstein)定理):设 A和B是两个集合,若|A|≦|B|,又|B|≦|A|,则 |A|=|B|。 由此定理知,基数集上的≦关系是偏序关 系,又由定理4.13知,任意两个集合的基数 都是可比较的,因此还是全序关系. 利用存在A到B的内射和B到A的内射来 构造A与B之间的双射
证明基数相同的方法有:构造双射;构 造内射FA→B,得到AB,再作内射 g:B→A,得到BsA,从而得到A|=Bl 例:利用伯恩斯坦定理证明(0,1)=0,1 例证明实数序列所组成集合E的基数为 C 定理415:设A是有限集,则<Ncf
证明基数相同的方法有：构造双射；构 造内射f:A→B, 得到|A|≦|B|,再作内射 g:B→A,得到|B|≦|A|,从而得到|A|=|B|。 例:利用伯恩斯坦定理证明|(0,1)|=|[0,1]|。 例:证明实数序列所组成集合E∞的基数为 c。 定理4.15：设A是有限集, 则|A|<0<c<f
定理416(康托尔定理对于任何集合A, 必有AKP(A川 证明: 康托尔定理告诉我们任意给定一个集合 A,总存在基数比A便更大的集合,也就是 不存在最大基数的集合。 构造可列个无限基数的集合: N,P(N),P(P(N),… 且|N<|P(N)<P(P(ND)}2… 左方最开始的不等式表示P(N} 以后每一个都大于它前面的一个, P(N)是什么呢?
定理4.16(康托尔定理):对于任何集合A, 必有|A|<|P (A)|。 证明： 康托尔定理告诉我们:任意给定一个集合 A, 总存在基数比|A|更大的集合, 也就是 不存在最大基数的集合。 构造可列个无限基数的集合: N, P (N),P (P (N)),… 且|N|<|P (N)|<|P (P (N))},… 左方最开始的不等式表示0<|P(N)}, 以后每一个都大于它前面的一个, |P (N)|是什么呢?
当A是有限集时,A=n,则P(A)=2,即P (A)=2A 当A是无限集时也记P(A川为2A。 A是可列集,则有P(A)=2N, IP(NI2N c与2之间有何关系 定理417:P(N=c,即2N=c No:所有整数或分数的数目; N1=|P(N)|:线段上所有几何点(实数)的 个数; 公2=|P(P():所有几何曲线的个数
当A是有限集时,|A|=n,则|P (A)|=2n ,即|P (A)|=2|A|。 当A是无限集时,也记|P (A)|为2 |A|。 A是可列集, 则有|P (A)|=20, |P (N)|= 20 c与2 0之间有何关系 定理 4.17：|P (N)|=c, 即2 0=c。 0：所有整数(或分数)的数目； 1=|P (N)|：线段上所有几何点(实数)的 个数； 2=|P (P (N))|：所有几何曲线的个数
S<c 康托尔早在一百年前就提出了一个猜想: 在与c之间没有其它的基数,这就是著 名的连续统假设。 1900年著名数学家希尔伯脱( Hilbet. D)在 巴黎数学大会上列举了23个未解决的数 学问题,向数学家们进行挑战,其中第一 个就是“康托尔的连续统基数问题
0<c 康托尔早在一百年前就提出了一个猜想: 在0与c之间没有其它的基数, 这就是著 名的连续统假设。 1900年著名数学家希尔伯脱(Hilbet.D)在 巴黎数学大会上列举了23个未解决的数 学问题, 向数学家们进行挑战, 其中第一 个就是“康托尔的连续统基数问题