复旦大学：《离散数学——集合与图论》PPT课件（赵一鸣）05/30

4偏序集合中的几个特殊元素 定义:设(A,≌是一个偏序集合,B<A若 存在一个元素b∈B对所有b∈B都有bb 则称b是B的最大元;若都有bb,则称b 是B的最小元。特别B=A时,称b为A的 最大元或最小元。 例:A1={1,2,3,4,5,6A1,s 1为A1的最小元,6为A1的最大元 A的最小元为1,A的最大元无

4.偏序集合中的几个特殊元素 定义：设(A,≤)是一个偏序集合, BA,若 存在一个元素bB,对所有b‘B都有b’≤b, 则称b是B的最大元；若都有b≤b‘, 则称b 是B的最小元。特别B=A时，称b为A的 最大元或最小元。 例：A1={1,2,3,4,5,6},(A1 ,) 1为A1的最小元，6为A1的最大元 (A1 ,|) A1的最小元为1，A1的最大元无

A2={2,3,6,12,24,36},(A2, A2既无最小元,也无最大元 偏序集或它的子集不一定存在最小元(最 大元) 偏序集存在最小元最大元),它的子集也 不一定存在最小元(最大元) 定理:在(A中,BA,若B存在最大元 (最小元),则必唯一。 证明:假设B有两个最大元a1,a2

A2={2,3,6,12,24,36},(A2 ,|) A2既无最小元，也无最大元。 偏序集或它的子集不一定存在最小元(最 大元) 偏序集存在最小元(最大元)，它的子集也 不一定存在最小元(最大元) 定理：在(A,≤)中，BA，若B存在最大元 (最小元)，则必唯一。 证明：假设B有两个最大元a1 ,a2

定义:设(A,是一个偏序集合,BcA,若存在一个 元素b∈B,且在B中不存在元素b使b≠b,b≤b,则称 b是B的极大元;若B中不存在元素b使b≠b,b'≤b, 则称b是B的极小元。特别B=A时,称b为A的极大 元(极小元) 注意极大元与最大元的区别。 例:A1={1,2,3,4,5,6},(A1, 1为A1的极小元,6为A1的极大元 (A1,) 这些说明: 极大元(极小元不唯 最大元最小元)必是极大元(极小元) 对任何非空有限子集,极大元、极小元一定存在 若子集B有最大元最小元),则B的极大元(极小元) 唯

定义：设(A,≤)是一个偏序集合, BA,若存在一个 元素bB, 且在B中不存在元素b‘使bb’,b≤b‘,则称 b是B的极大元；若B中不存在元素b’使bb‘, b’≤b, 则称b是B的极小元。特别B=A时，称b为A的极大 元(极小元) 注意极大元与最大元的区别。 例：A1={1,2,3,4,5,6},(A1 , ≤) 1为A1的极小元，6为A1的极大元 (A1 ,|) 这些说明： 极大元(极小元)不唯一 最大元(最小元)必是极大元(极小元) 对任何非空有限子集，极大元、极小元一定存在 若子集B有最大元(最小元)，则B的极大元(极小元) 唯一

定义:设(A,≤是一个偏序集合,BcA,若 存在一个元素a∈A,对所有b∈B都有b≤a, 则称a是B的上界;对所有b'∈B都有a≤b', 则称a是B的下界 注意最大元(最小元)与上界(下界)的区别 最大元(最小元)要求最大元(最小元)∈B, 而上界(下界)无此要求 例:A2={2,3,6,12,24,36},(42,D P={2,3,6}, B={2,3}

定义：设(A,≤)是一个偏序集合, BA,若 存在一个元素aA, 对所有b'B都有b'≤a, 则称a是B的上界；对所有b'B都有 a≤b', 则称a是B的下界。 注意最大元(最小元)与上界(下界)的区别 最大元(最小元)要求最大元(最小元)B, 而上界(下界)无此要求 例:A2={2,3,6,12,24,36},(A2 ,|) P={2,3,6}, B={2,3}

上界(下界)可能存在,也可能不存在。 上界(下界)不一定唯一。 上界(下界)可以是B中的元素,也可以不 是 定义:设(A,是一个偏序集合,BcA, 若a∈A是B的上界且对B中每个上界a'都 有a≤a,则称a为B的上确界(或称最小上 界);若a∈A是B的下界且对B中每个下界 a'都有a'≤a,则称a为B的下确界(或称最大 下界)

上界(下界)可能存在，也可能不存在。 上界(下界)不一定唯一。 上界(下界)可以是B中的元素，也可以不 是 定义：设(A,≤)是一个偏序集合, BA， 若aA是B的上界且对B中每个上界a'都 有a≤a', 则称a为B的上确界(或称最小上 界)；若aA是B的下界且对B中每个下界 a'都有a'≤a,则称a为B的下确界(或称最大 下界)

例:A2={2,3,6,12,24,36},(A2) P={2,3,6},P的上界{6,12,24,36}, B={2.3}, 例A3={6,9,36,54},(43,D B={6,9}, 上确界(下确界唯一 上确界(下确界)可以是B中的元素,也可 以不是 存在上界(下界),上确界(下确界)不一定 存在

例:A2={2,3,6,12,24,36},(A2 ,|) P={2,3,6},P的上界{6,12,24,36}， B={2.3}, 例:A3={6,9,36,54},(A3 ,|) B={6,9}, 上确界(下确界)唯一 上确界(下确界)可以是B中的元素，也可 以不是 存在上界(下界)，上确界(下确界)不一定 存在

RCAXE,R为A到B的二元关系, DomRca。 若DomR=A,且规定对每个a∈A有唯一的 b与之对应,即不允许出现(a,c),(a,b)∈R 出现。 满足这两条的称为函数

RA×B,R 为 A 到 B 的 二 元 关 系 ， DomRA。 若DomR=A,且规定对每个aA,有唯一的 b与之对应，即不允许出现(a,c),(a,b)R 出现。 满足这两条的称为函数

第三章函数 31函数的基本概念

第三章 函数 3.1 函数的基本概念

一、函数的定义及其表示 定义31:设A和B是两个任意集合,是从A 到B的二元关系。若俱具有性质: (1)的定义域Domf=A; (2)如果(a,b),(a,b),则b=b'。 则称关系是从A到B的函数记为:A→B称b 为a的象,a为b的原象记为b=f(a)。f的值域 记为R灬又称从A到B的映射。 (1)由 LorCa变为DomR=A,即定义域有区 别 (2)对于关系允许(a,b2a,b)∈R而函数则是 不允许的除非b=b

一、函数的定义及其表示 定义3.1：设A和B是两个任意集合, f是从A 到B的二元关系。若f具有性质: (1)f的定义域Domf=A； (2)如果(a,b),(a,b')f, 则b=b'。 则称关系f是从A到B的函数,记为f:A→B,称b 为a的象,a为b的原象,记为b= f(a)。f的值域 记为Rf。又称f为从A到B的映射。 (1)由DomRA变为DomR=A,即定义域有区 别。 (2)对于关系允许(a,b),(a,b')R,而函数则是 不允许的除非b=b

例:设A={1,2,3,4},B={a,b,c},从A到B的 关系: R1={(1,a)(2,b,3,c)} R2={(1,a)2(1,b),(2,b),(3c),(4,c)}, R3={(1,a),(2,b),(3,b),(4,a)} D1={1,2,3}≠A,不是函数。 D2={1,2,34}=A,但(1,a),(1,b)∈R2,故不是 函数。 R3是函数

例：设A={1,2,3,4},B={a,b,c},从A到B的 关系: R1={(1,a),(2,b),(3,c)}, R2={(1,a),(1,b),(2,b),(3,c),(4,c)}, R3={(1,a),(2,b),(3,b),(4,a)} DR1={1,2,3}A,不是函数。 DR2={1,2,3,4}=A,但(1,a),(1,b)R2 ,故不是 函数。 R3是函数