1设A和B是集合,证明:A=B当且仅当 A∩B=AUB 2一个A上的二元关系R称为循环的,如 果对任意的abc∈A若 arb bRo必有 cRa证明R是自反和循环的当且仅当R 是等价关系
• 1.设A和B是集合，证明：A=B当且仅当 A∩B=A∪B • 2.一个A上的二元关系R称为循环的，如 果对任意的a,b,cA,若aRb,bRc,必有 cRa.证明:R是自反和循环的当且仅当R 是等价关系
引理(-):若A、B都是可列集, A∩B=,则AUB是可列集。 证明:因为A、B都是可列集故由定理(二) 得,A中的元素可以排成一个无穷序列的 形式:aa1,a2a3,a4,,B中的元素可以排 成一个无穷序列的形式bb1b2b3,b4…, 又因A∩B=,故可构造N到A∪B的双射
• 引理(一)：若A、B都是可列集， A∩B= ，则A∪B是可列集。 • 证明:因为A、B都是可列集,故由定理(二) 得,A中的元素可以排成一个无穷序列的 形式:a0 ,a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,…, B中的元素可以排 成一个无穷序列的形式:b0 ,b1 ,b2 ,b3 ,b4 ,…, 又因A∩B=，故可构造N到A∪B的双射
定理47:两个可列集之并仍为可列集。 构造B1=B-(A∩B, 则A∩B1=②,AUB1=AUB 推论:有限个可列集之并仍为可列集。 定理48:可列个可列集之并仍为可列集 考虑互不相交的情况 例:证明有理数集Q是可列集。 首先证明正有理数集是可列集 Q+={m/mm,n互质,n,m≠0} 与有序对有关
• 定理4.7：两个可列集之并仍为可列集。 • 构造B1=B- (A∩B), • 则A∩B1 =，A∪B1=A∪B • 推论：有限个可列集之并仍为可列集。 • 定理4.8：可列个可列集之并仍为可列集 • 考虑互不相交的情况 • 例：证明有理数集Q是可列集。 • 首先证明正有理数集是可列集 • Q+={n/m|m,n互质，n,m0} • 与有序对有关
·定理49:0,1是不可列集。 证明显然0,1不是有限集 假设[0,1是可列集。利用区间套定理导 出矛盾 称[0,1.连续统,基数记为N,c 有时也记为好1 例:证明(0,1)=0,1|=妤 构造(0,1)到[0,1之间的双射
• 定理4.9:[0,1]是不可列集。 • 证明:显然[0,1]不是有限集。 • 假设[0,1]是可列集。利用区间套定理导 出矛盾 • 称[0,1]为连续统,基数记为,c • 有时也记为1 • 例:证明|(0,1)|=|[0,1]|= • 构造(0,1)到[0,1]之间的双射
定理410设A是有限集或可列集B是任 无限集,则A∪B=B 关键构造AUB到B的双射。考虑利用某 个存在的双射来实现。 定理4l!:设实数a,b且a<b,则 a,b,a,b,a,ba,b)的基数均为c 实数集R的基数 (0,1)到R的双射八(x)=tg(mx-m/2) °|R=(0,1)=c 线段上的点数和实数轴上的点数是一样 的
• 定理4.10:设A是有限集或可列集,B是任一 无限集, 则|A∪B|=|B|。 • 关键构造A∪B到B的双射。考虑利用某 个存在的双射来实现。 • 定理4.11:设实数a,b且a<b,则 [a,b],[a,b),(a,b],(a,b)的基数均为c。 • 实数集R的基数 • (0,1)到R的双射f: f(x)=tg(x-/2) • |R|=|(0,1)|=c • 线段上的点数和实数轴上的点数是一样 的
整数集,非负整数集,正整数集,有理 数集它们的基数是N 实数集为N 设P表示无理数集 R=P∪Q, Q|=2 由定理4.10知, RPUQFPI ·P的基数是
• 整数集，非负整数集，正整数集，有理 数集它们的基数是0 • 实数集为 • 设P表示无理数集 • R=P∪Q, • |Q|=0 , • 由定理4.10知， • |R|=|P∪Q|=|P|, • P的基数是
作业:P76 4,5,6,7,8,11,12
•作业:P76 • 4,5,6,7,8,11,12