§3线性变换和矩阵 、线性变换关于基的矩阵 设是数域P上n维线性空间E1E2…,EnV的一组基,现在建立线性变换与 矩阵关系 空间V中任意一个向量5可以被基E1E2,…En线性表出,即有关系式 5=xE1+x2E2+…+xnEn (1) 其中系数是唯一确定的,它们就是ξ在这组基下的坐标由于线性变换保持线性 关系不变,因而在的像A与基的像A51,1E2,…,用En之间也必然有相同的关 系 用5=(x1E1+x2E2+…+xnEn) =x1联(E)+x2联(E2)+…+xn(En) 上式表明,如果知道了基E,E2…,En的像,那么线性空间中任意一个向量 的像也就知道了,或者说 1.设1,E2…,En是线性空间V的一组基,如果线性变换A与在这组基上 的作用相同,即 E1=BE1,i=1,2,…,n, 那么A=9. 结论1的意义就是,一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面 指出,基向量的像却完全可以是任意的,也就是 2.设61,E2…,En是线性空间V的一组基,对于任意一组向量a1a2…an 定有一个线性变换A使 A8=a =1,2,…,n 定理1设E1,E2,…,En是线性空间V的一组基,a1,a2…,∝n是V中任意n个 向量存在唯一的线性变换A使§3 线性变换和矩阵 一、线性变换关于基的矩阵 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间. n  , , , 1 2  V 的一组基，现在建立线性变换与 矩阵关系. 空间 V 中任意一个向量  可以被基 n  , , , 1 2  线性表出，即有关系式 n n  = x  + x  ++ x  1 1 2 2 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是  在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性 关系不变，因而在  的像 A  与基的像 A 1  ,A 2  ,…，A n  之间也必然有相同的关 系： A  =A（ n n x  + x  ++ x  1 1 2 2 ） = 1 x A( 1  )+ 2 x A( 2  )+…+ n x A ( n  ) (2) 上式表明，如果知道了基 n  , , , 1 2  的像，那么线性空间中任意一个向量  的像也就知道了，或者说 1. 设 n  , , , 1 2  是线性空间 V 的一组基，如果线性变换 Å 与 ℬ 在这组基上 的作用相同，即 A i  =B i  ， i = 1, 2 ,  ,n , 那么 A= B. 结论 1 的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面 指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设 n  , , , 1 2  是线性空间 V 的一组基，对于任意一组向量    n , , , 1 2  一 定有一个线性变换 Å 使 A i  = i i = 1, 2 ,  ,n . 定理 1 设 n  , , , 1 2  是线性空间 V 的一组基，    n , , , 1 2  是 V 中任意 n 个 向量.存在唯一的线性变换 Å 使