零点存在定理 定理3.4.3若函数f(x)在闭区间[a,b]连续,且f(a)·f(b)<0,则一定 存在ξ∈(a,b),使∫()=0。 证不失一般性,设f(a)<0,f(b)>0,定义集合V x|f(x)<0.x∈[ab]} 集合V有界,非空,所以必有上确界。令 5=sup v 现证ξ∈(a,b),且f()=0。 由于f()连续,a)<0,38,>0,WxEa+1:f(x)<0;再由/)>0, 2>0,x∈(b-6,b):f(x)>0。于是可知 a+6≤≤b- 即ξ∈(a,b)。零点存在定理 定理3.4.3 若函数 f x( ) 在闭区间 ba ],[ 连续，且 fa fb () () 0 ⋅ < ，则一定 存在ξ ∈ ba ),( ，使 f () 0 ξ = 。 证 不失一般性，设 f a() 0 < ， f b() 0 > ，定义集合V： V = { x f x x ab ( ) 0, [ , ] < ∈ }。 集合V 有界，非空，所以必有上确界。令 ξ = supV ， 现证ξ ∈ ba ),( ，且 f () 0 ξ = 。 由于 f x( ) 连续，f a() 0 < ，∃ δ1 > 0， 1 ∀x aa ∈ + [, ] δ ：f x() 0 < ；再由 f b() 0 > ， ∃ δ 2 > 0，∀ x ∈ 2 ( ,) b b −δ ： f x() 0 > 。于是可知 1 a +δ ≤ ξ ≤ 2 b −δ ， 即ξ ∈ ba ),(