fx)、g(x)是P中两个多项式，P是包含P的一个较大的数域。当然f(x)、g(x)也可以 看成P中的多项式。从带余除法可以看出不论把f(x)、g(x)看成是P中或是P中的多 项式，用g(x)去除f(x)所得的商式及余式都是一样的。因此，如果P中g(x)不能整除f(x), 那么在x中，g(x)也不能整除∫(x) 第四节最大公因式 如果多项式(x)既是(x)的因式，又是g(x)的因式，那么p(x)就称为g(x)与f(x)的 个公因式。在公因式中占有特殊重要地位的是所谓最大公因式。 定义6设f(x),g(x)是Px中两个多项式。P]中多项式d(x)称为f(x),(x)的一个 最大公因式，如果它满足下面两个条件： 1)d(x)是f),g(x)的公因式： 2)f(x),g(x)的公因式全是d(x)的因式。 例如，对于任意多项式∫(x),f(x)就是(x)与0的一个最大公因式。特别地，根据定义， 两个零多项式的最大公因式就是0。 等大公因武的游在性的证明主要根据带余障法，关于带会除法我们脂出以下事实如果有 f(x)=q(x)g(x)+r(x) 成立，那么fx),g(x)和g(x),(x)有相同的公因式。事实上，如果(xg(x),p(x(x)。 这就是说，g(x),r(x)的公因式全是f(x),g(x)的公因式。反过来，如果(xg(x,p(xf(x) 那么p(x)一定整除它们的组合 r(x)=f(x)-q(x)g(x) 这就是说，p(x)是fx),g(x)的公因式。由此可见，如果g(x),r(x)有一个最大公因式d(x), 那么d(x)也就是f(x),g(x)的一个最大公因式。 定理2对于P中任意两个多项式f(x),g(x),在Px]中存在一个最大公因式d(x), 且d(x)可以表成f(x),g(x)的一个组合，即有P中多项式u(x,(x)使 d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) (2)f (x) 、 g(x) 是 Px 中两个多项式， P 是包含 P 的一个较大的数域。当然 f (x) 、 g(x) 也可以 看成 Px 中的多项式。从带余除法可以看出不论把 f (x) 、g(x) 看成是 Px 中或是 Px 中的多 项式，用 g(x) 去除 f (x) 所得的商式及余式都是一样的。因此，如果 Px 中 g(x) 不能整除 f (x) ， 那么在 Px 中， g(x) 也不能整除 f (x) 。 第四节 最大公因式 如果多项式 (x) 既是 f (x) 的因式，又是 g(x) 的因式，那么 (x) 就称为 g(x) 与 f (x) 的一 个公因式。在公因式中占有特殊重要地位的是所谓最大公因式。 定义 6 设 f (x) ，g(x) 是 Px 中两个多项式。 Px 中多项式 d (x) 称为 f (x) ，g(x) 的一个 最大公因式，如果它满足下面两个条件： 1） d (x) 是 f (x) ， g(x) 的公因式； 2） f (x) ， g(x) 的公因式全是 d (x) 的因式。 例如，对于任意多项式 f (x) ，f (x) 就是 f (x) 与 0 的一个最大公因式。特别地，根据定义， 两个零多项式的最大公因式就是 0。 最大公因式的存在性的证明主要根据带余除法，关于带余除法我们指出以下事实：如果有 等式 f (x) = q(x)g(x) + r(x) 成立，那么 f (x) ， g(x) 和 g(x)，r(x) 有相同的公因式。事实上，如果 (x) g(x),(x) f (x)。 这就是说， g(x)，r(x) 的公因式全是 f (x) ，g(x) 的公因式。反过来，如果 (x) g(x),(x) f (x) 那么 (x) 一定整除它们的组合 r(x) = f (x) − q(x)g(x) 这就是说， (x) 是 f (x) ，g(x) 的公因式。由此可见，如果 g(x) ，r(x) 有一个最大公因式 d (x) ， 那么 d (x) 也就是 f (x) ， g(x) 的一个最大公因式。 定理 2 对于 Px 中任意两个多项式 f (x) ， g(x) ，在 Px 中存在一个最大公因式 d (x) ， 且 d (x) 可以表成 f (x) ， g(x) 的一个组合，即有 Px 中多项式 u(x), v(x) 使 d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) （2）