证明如果f(x),g(x)有一个为零，如g(x)=0,那么x)就是一个最大公因式，且 fx)=1·fx)+10 再看一般的情形。不妨设g(x)≠0。按带余除法，用g(x)除∫(x),得到商q,(x),余式(x): 如果(x)≠0，就再用r(x)除g(x),得到商(x),余式5()：如果(x)≠0，就再用() 除r(x),得到商q,(x)，余式(x):如此辗转相除下去，显然，所得余式的次数不断降低 即 g(x》>(x)0>,(x》>… 因此在有限次之后，必然有余式为零。于是我们有一串等式： f(x)=q(x)g(x)+r(x) g(x)=92(x)r(x)+5(x) t+0t+t00t+。0t0t0+++++0tt+0++00++ r-2(x)=g,(x)r(x)+r(x) … r-3(x)=q-(x)+r-(x) r-2(x)=9(xr-(x)+r.(x) r(x)=9(xr)r(x)+0 ,(x)与0的最大公因式是r,(x)。根据前面的说明，5(x)也就是r(x)与r-(x)的一个最大 公因式：同样的理由不，逐步推上去，r,(x)就是f(x),g(x)的一个最大公因式。 由上面等式容易得到等式 r(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) 这就是定理中的(2)式。 有最大公因式的定义不难看出，如果d,(x,d,(x)是f(x)与g(x)的两个最大公因式，那么 一定有d,(x4,(x)与d4,(xd,(x),也就是d,(x)=cd,(x,c≠0。这就是说，两个多项式的最大 公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的。两个不全为零的多项式的最大公 因式总是一个非零多项式。我们约定月 (fx),gx》 来表示首项系数是1的那个最大公因式。 定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法。 证明 如果 f (x) ， g(x) 有一个为零，如 g(x) = 0 ，那么 f (x) 就是一个最大公因式，且 f (x) = 1 f (x) +1 0 再看一般的情形。不妨设 g(x)  0 。按带余除法，用 g(x) 除 f (x) ，得到商 ( ) 1 q x ，余式 ( ) 1 r x ； 如果 r1 (x)  0 ，就再用 ( ) 1 r x 除 g(x) ，得到商 ( ) 2 q x ，余式 ( ) 2 r x ；如果 r2 (x)  0 ，就再用 ( ) 2 r x 除 ( ) 1 r x ，得到商 ( ) 3 q x ，余式 ( ) 3 r x ；如此辗转相除下去，显然，所得余式的次数不断降低， 即 (g(x))  (r1 (x)0  (r2 (x))  因此在有限次之后，必然有余式为零。于是我们有一串等式： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 f x = q x g x + r x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 g x = q x r x + r x ………………………………… ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 r x q x r x r x i− = i i− + i ………………………………… ( ) ( ) ( ) 3 1 1 r x q x r x s− = s− + s− ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 r x q x r x r x s− = s s− + s rs−1 (x) = qs+1 (x)rs (x) + 0 r (x) s 与 0 的最大公因式是 r (x) s 。根据前面的说明， r (x) s 也就是 r (x) s 与 ( ) 1 r x s− 的一个最大 公因式；同样的理由不，逐步推上去， r (x) s 就是 f (x) ， g(x) 的一个最大公因式。 由上面等式容易得到等式 r (x) u(x) f (x) v(x)g(x) s = + 这就是定理中的（2）式。 有最大公因式的定义不难看出，如果 ( ), ( ) 1 2 d x d x 是 f (x) 与 g(x) 的两个最大公因式，那么 一定有 ( ) ( ) 1 2 d x d x 与 ( ) ( ) 2 1 d x d x ，也就是 d1 (x) = cd2 (x),c  0 。这就是说，两个多项式的最大 公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的。两个不全为零的多项式的最大公 因式总是一个非零多项式。我们约定用 ( f (x), g(x)) 来表示首项系数是 1 的那个最大公因式。 定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法