题4.(1)设f1(x),f2(x),…,fm(m)是两两互素的多项式,a1,a2,……,am是m个数.证明存在多 项式g(x),满足9(x)=f(x)q(x)+a;1≤i≤ (2)证明习题3中的B是A的多项式; (3)证明习题3中的分解是唯一的 题5.设A是正交矩阵且|4=1.求证:存在唯一的正交矩阵B,使得A=B 题6.设A是实对称矩阵,t为任意奇正整数.求证:存在唯一的对称矩阵B,使得A=B'.并且对 于任意矩阵C,BC=CB的充分必要条件是AC=CA 题7.把复n阶对称矩阵按合同分类,共有几类?把实n阶对称矩阵按合同分类,共有几类? 题8.设A是半正定矩阵(正定矩阵).求证:存在唯一的半正定矩阵(正定矩阵B,使得A=B2,并 且对于任意矩阵C,BC=CB的充分必要条件是AC=CA 题9.(1)设A,B∈RXm,如果存在正交阵P,Q使得B=PAQ,则称A正交相抵于B.矩阵的 相抵关系是R×m中的等价关系 2)证明n阶可逆实矩阵A正交相抵于diag{m1,m2,…,tn},这里m1,2,…,n都是正实数,且 l1,n2,…,m2是A'A的所有特征值 (3)证明任意n阶实方阵A都正交相抵于形如B0 00)的矩阵,其中B是r阶可逆实方阵 (4)证明任意n阶实方阵A都正交相抵于diag{ 0}的矩阵,其中r=rank(A) 1,2,…,tn都是正实数,且v2,12,……,v2是AA的所有特征值 (5)设A∈R",则存在正交矩阵T,半正定矩阵S1,S2,使得A=S1T=TS 题10.写出上面各习题对应的线性变换的结论