定理9.2.1E的上确界H和下确界h均属于E,即 H=maxE,h=minE。 证由H=supE可知,存在5∈E(k=1,2,…),使得 取E (k=1,2,)。 因为5是{xn}的极限点,所以在O,E1)中有{xn}的无穷多个项,取 ∈O(512E1) 因为52是{xn}的极限点,所以在O(2,E2)中有{xn}的无穷多个项, 可以取n2>n,使得xn∈O(52,2)定理 9.2.1 E 的上确界 H 和下确界 h 均属于 E，即 H = max E， h = min E。 证 由H = sup E 可知，存在 k E (k = 1,2, )，使得 lim k k  H → = 。 取 k k 1  = (k = 1,2, )。 因为 1  是xn 的极限点，所以在 ( , ) 1 1 O   中有xn 的无穷多个项，取 1 1 1 ( , ) n x O   ； 因为 2 是xn 的极限点，所以在 ( , ) 2 2 O   中有xn 的无穷多个项， 可以取n2  n1，使得 2 2 2 ( , ) n x O   ； ……