例5设(X,Y)在以原点为中心,r为半径的圆域R 上服从均匀分布,求二维概率密度。 解: C 0(x,y) x ty>r +P+00 由」」0(xy)ody= ∫a=1Ja=1, < ∫d=m2,;c 1 m x+y-≤r 0(x,y) x ty x ty>例 5. 设 ( ,) X Y 在以原点为中心， r 为半径的圆域 R 上 服 从 均 匀 分 布 ， 求 二 维 概 率 密 度 。 解： ( ) ⎧c x , + y ≤ r ⎨ 222 ϕ ( , ) , x y y xyr = + > ⎨ ⎩ 222 0 ( )d d +∞ +∞ ∫ ∫ 由 ϕ ( x, y ) dx dy = 1 −∞ −∞ ∫ ∫ 1 ， cdxdy 1 ∫∫ cdxdy = c ⋅ ∫∫ dxdy = 1 x yr 2 22 1 + ≤ ∫∫ ， c dxdy x yr + ≤ ∫∫ 2 22 1 ， dxdy r 2 ∫∫ π 1 dxdy r x yr 2 22 + ≤ ∫∫ = π ， ∴ c = r 2 π ⎧ ϕ(,) π , x y r xyr = + ≤ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ 1 2 222 2 2 2 , x + y > r ⎩ ⎪0 2 2 2