e 13.设C1与C2为相交于M、N两点的简单闭曲线,它们所围的区域分别为B1与B2。B1与B2的公 共部分为B。如果f(-)在B1-B与B-B内解析,在C1、C2上也解析,证明:∮()k=手()k 证明在B-B上f()为解析函数,则由柯西基本定理∮f()=0:同理∮f()=0 则∫f()+∫f()=∫f(+「f(),即f()=∮f( 14.设C为不经过a与-a的正向简单闭曲线,a为不等于零的 任何复数试就a与同C的各种不同位置,计算积分5 解(i)当a在C的内部而-a在C的外部时 G f=2nd=计如d=24=x1 (i)当-a在C的内部而a在C的外部时, 2r1 (i)当a与-a在C的内部时,设C1,C2分别为以a,-a为心半径充分小的圆周使C1,C2均在C的内 部且互不相交也互不包含,则由复合闭路定理及 Cauchy积分公式得 a中a=m+m=2m c22+a (ⅳ)当a与-a都在C的外部时,由 Cauchy-Gourssat定理得 15.设C1与C2为两条互不包含,也互不相交的正向简单闭曲线,证明: cdx sIn 当=在C内时, z|sinz,当在C内时 证明利用cmty积分公式,当=在C内时,n手 -dz 而 当在C2内时, 1r=dz cdz =sn二 sIn 故结论成立 16.设函数f(=)在04=k<1内解析,且沿任何圆周C:|=上r,0<r<1的积分为零,问/(=)是否需在 =0处解析?试举例说明之 解不一定。如令f()=,则其在04k1内解析,且沿任何圆周C:|=|=r,0<F<1的积分 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ - 5 - B1 C1 C2 B2 M N E F B G H 故 2 0 1 Re . 1 4 z d π ζ ζ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + ∫ 13．设 C1 与 C2 为相交于 M 、 N 两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为 B1 与 B 2 。 B1 与 B 2 的公 共部分为 B 。如果 f ( )z 在 B1 − B 与 B2 − B 内解析，在 C1 、 C2 上也解析，证明： 1 2 () () C C f z dz f z dz = v v ∫ ∫ 。 证明 在 B1 − B 上 f ( )z 为解析函数，则由柯西基本定理 () 0 MENGM f z dz = v∫ ；同理 () 0 MHNFM f z dz = v∫ 则 () () () () NGM MEN MHN NFM f z dz f z dz f z dz f z dz +=+ ∫∫∫∫ ，即 1 2 () () C C f z dz f z dz = v∫ ∫v 。 14．设 C 为不经过 a 与 - a 的正向简单闭曲线， a 为不等于零的 任何复数，试就 a 与 - a 同 C的各种不同位置，计算积分 ∫C − dz z a z 2 2 。 解 （ i）当 a 在 C 的内部而 - a 在 C 的外部时 ∫ ∫ = + = −+ = − = C z a C z a z dz z a z a z dz z a z 2 i i 2 2 π π 。 （ii）当 − a 在 C 的内部而 a 在 C 的外部时， ∫ ∫ = − = +− = − = − c c z a z a z dz z a z a z dz z a z 2 i i 2 2 π π （iii）当 a 与－ a 在 C 的内部时，设 C1 , C2 分别为以 a , − a 为心半径充分小的圆周使 1 2 C , C 均在 C 的内 部且互不相交也互不包含，则由复合闭路定理及 Cauchy 积分公式得 ∫ ∫ ∫ = + = +− + −+ = c c − c dz i i i z a z a z dz z a z a z dz z a z 1 2 2 2 2 π π π （iv）当 a 与－ a 都在 C 的外部时，由 Cauchy-Gourssat 定理得 ∫ = C − dz z az 0 2 2 。 15．设 C1 与 C2 为两条互不包含，也互不相交的正向简单闭曲线，证明： 1 2 2 2 0 01 0 0 0 02 1 sin , 2 i sin , C C z dz zdz z zC π zz zz z zC ⎡ ⎤ ⎧ ⎢ ⎥ + = ⎨ − − ⎣ ⎦ ⎩ v v ∫ ∫ 当 在 内时, 当 在 内时. 证明 利用 Cauchy 积分公式， 0 1 当 在 内时, z C 0 1 2 2 20 0 1 | 2 i z z C z dz z z π z z = = = − v∫ ，而 2 0 1 sin 0 2 i C zdz π z z = − v∫ ； 0 2 当 在 内时, z C 1 2 0 1 0 2 i C z dz π z z = − v∫ ，而 0 2 0 0 1 sin sin | sin 2 i z z C zdz z z π z z = = = − v∫ 。故结论成立。 16．设函数 f ( )z 在 0 < | z | < 1内解析，且沿任何圆周 C ： | z | = r ， 0 < r < 1的积分为零，问 f ( )z 是否需在 z=0 处解析？试举例说明之。 解 不一定。如令 ( ) 21z f z = ，则其在 0 < | z | < 1内解析，且沿任何圆周 C ： | z | = r ， 0 < r < 1的积分