为了在分离变量法中的应用,自然要讨论上面得到的本征函数的正交归关系.下面,介绍 种略为不同的做法,可以同时得到本征函数的正交归一关系 首先,写出本征函数Rm(r)=Jm(kmr)所满足的微分方程和边界条件 1 d dJm(kmir Jm (kmir Jm(0)有界,Jm(kmia)=0 (23.9b) 同时,再写出函数R(r)=Jm(kr)所满足的微分方程和边界条件, d Jm(kr)=0, Jm(O)有 (23.10b 由于其中的k为任意实数,所以一般说来,不会有Jm(ka)=0 再用rJm(kr)和rJm(kmr)分别乘方程(239a)和(2310a Jm(kr) d[ dm(k 1+(k2mi-72 rJm(kmir)Jm(kr)=0, Jm(mrad l dd +(e-m)rJ(kmr) m(kr)=0 相减,并在区间⑩0,a]上积分,就得到 k2)/Jm(kmir) Jm(kr)rdr=r Jm(kimi) -m (kr) dJm(kmir) 代入边界条件(23.9b)和(23.10b),可以将上面的结果化为 (h mi-k2)/Jm(kmir). m(kr)rdr=-kimiaJm(ka)m(kimia) 我们对两个特殊情形感兴趣第种情形是k=km≠km:这时就有Jn(kmy)=0,因此 (2311)式的右端为0.但由于km≠km,所以 Jm(kmir)Jm(kmir)rdr=0, kmi+ kimi 即对应于不同本征值的本征函数在区间[0,a]上以权重r正交 种情形是k=kmi,这时(23.11)式的两端均为0.我们可以先将(23.1)式的两端同除以 然后取极限k→km,这样就得到 3m( kmir)rdr=-kikmn k2-k2 m(ka) 'm(kimia)=2I m(kimia)l (23.13) 这正是本征函数Jm(km)的模方 如果将本征值问题(23.9)中r=a端的齐次边界条件(239b)改为第二类或第三类边界条件, 也可以类似地讨论 事实上,可以把这三种情形统一写成 d「dR(r) r)B(=0 (23.14a)Wu Chong-shi ￾✁✂✄☎ ✆ ✝ ✞ (✁ ) ➼ 5 ➽ ❐ æ✑➅➧➨➩✟ ❿✥➷ï✛ ✠✡➍✜✢ë❶↕➑✥✦✧➱✃✥ß☛☞✓ð❺✩ ➐ ❶✛✌✍ ✓✎✏❐✑✒✥✓ ✟✛➔➥✒õ ↕➑✦✧➱✃✥ß☛☞✓ð❺✩ ✔✕✛✖✗✦✧➱✃ Rmi(r) = Jm(kmir) ❒✘✙✥ ➄➅✣✤➆➇➈➉➊✛ 1 r d dr  r dJm(kmir) dr  +  k 2 mi − m2 r 2  Jm(kmir) = 0, (23.9a) Jm(0)✳ ➈, Jm(kmia) = 0. (23.9b) ✒õ ✛➦✖✗➱✃ R(r) = Jm(kr) ❒✘✙✥ ➄➅✣✤➆➇➈➉➊✛ 1 r d dr  r dJm(kr) dr  +  k 2 − m2 r 2  Jm(kr) = 0, (23.10a) Jm(0)✳ ➈. (23.10b) Ü ➬ê ❿✥ k ❐✚✛í ✃ ✛❒➥✓✜✢✣✛ ✑✤✳ Jm(ka) = 0 ✩ ➦ï rJm(kr) ➆ rJm(kmir) ➅✥✦✣✤ (23.9a) ➆ (23.10a) ✛ Jm(kr) d dr  r dJm(kmir) dr  +  k 2 mi − m2 r 2  rJm(kmir)Jm(kr) = 0, Jm(kmir) d dr  r dJm(kr) dr  +  k 2 − m2 r 2  rJm(kmir)Jm(kr) = 0, ✧★✛➢✑✩✪ [0, a] ë✫➅✛➋ ↕➑ ￾ k 2 mi − k 2
Z a 0 Jm(kmir)Jm(kr)rdr = r  Jm(kmir) dJm(kr) dr − Jm(kr) dJm(kmir) dr     r=a r=0 . ➠✙ ➇➈➉➊ (23.9b) ➆ (23.10b) ✛➔➥➝ë❶ ✥ñ✬Ö❐ ￾ k 2 mi − k 2
Z a 0 Jm(kmir)Jm(kr)rdr = −kmiaJm(ka)J0 m(kmia). (23.11) ✭ø➴➫✔✮✯✰✰✱✲✳✩ Þ ✓✎✰✰➌ k = kmj 6= kmi ✩➁õ➋✳ Jm(kmja) = 0 ✛✴➞ (23.11) ➟ ✥✵✶❐ 0 ✩✷ Ü ➬ kmj 6= kmi ✛❒➥ Z a 0 Jm(kmir)Jm(kmj r)rdr = 0, kmi 6= kmj , (23.12) ✸➴➷➬✑✒✦✧★✥✦✧➱✃✑✩✪ [0, a] ë➥✹✺ r ß☛✩ ✻✓✎✰✰➌ k = kmi ✛➁ õ (23.11) ➟ ✥ ➫ ✶✼❐ 0 ✩✭ø➔➥✕➝ (23.11) ➟ ✥ ➫ ✶✒✽➥ k 2 mi − k 2 ✛✡✾⑨❷➎ k → kmi ✛➁➂➋ ↕➑ Z a 0 J 2 m(kmir)rdr = − lim k→kmi kmia k 2 mi − k 2 Jm(ka)J0 m(kmia) = a 2 2 [J0 m (kmia)]2 . (23.13) ➁ß➌✦✧➱✃ Jm(kmir) ✥✿✣ ✩ ❀ ✬ ➝ ✦✧★✗✘ (23.9) ❿ r = a ✶✥❁➶➇➈➉➊ (23.9b) ❂❐Þ❃❄óÞ❅❄➇➈➉➊✛ ❆➔➥❄❇ý✜✢✩ ❈íë✛➔➥❉➁ ❅ ✎✰✰❊ ✓✖❋ 1 r d dr  r dR(r) dr  +  k 2 − m2 r 2  R(r) = 0, (23.14a)