§6.3罗-克拉类不等式 前面两节中我们介绍了矩法估计和极大似然估计，并讨论了估计量的优良性质：一致 性和无偏性，现在我们再来讨论一个更直观而重要的性质。 我们知道，方差是一个随机变量)落在它的均值E1的邻域内的集中或分散程度一个 度量，所以一个好的估计量)，不仅仅应该是待估参数日的无偏估计，而且应该有尽可能小 的方差。因此，若参数0有两个无偏估计量和2，且对一切0∈中有D()≤D()， 则作为的0估计，8，比82好。 定义6.3若参数有两个偏估计0和，且对一切0∈有D(0)≤D(),则 称估计0比可2有效。 在例6.6中知道0的极大似然估计可，=5(m),显然它不是0的无偏估计，但是当 n→o时，E0→0，所以0是0的一个渐近无偏估计。0，的方差 D (6)(20 若我们令01=”+10，.显然日i是日的无偏估计，其方差 D)=D(a)+20 n 由此得出，当≥2时，无偏估计0比石，无偏估计有效。 我们自然有这样一个想法，就是希望估计量的方差愈小愈好。那么能够小到什么程度 呢？也就是有没有下界？什么条件下方差下界存在？下面我们就米讨论建立一个方差下界 的罗一克拉美不等式。 罗-克拉类不等式设51,52，…，5，为取自具有概率函数f(x;),8 ⊙={a<0<b}的母体5的一个子样，a,b为已知常数，可以设a=-0,b=o。又刀=u （51,…,5,)g()是的一个无偏估计，且满足正则条件： (1)集合{f(x}与0无关： (2)g0与：》存在，且对一切8E日， d0 §6.3 罗—克拉美不等式 前面两节中我们介绍了矩法估计和极大似然估计，并讨论了估计量的优良性质；一致 性和无偏性，现在我们再来讨论一个更直观而重要的性质。 我们知道，方差是一个随机变量  落在它的均值 E  的邻域内的集中或分散程度一个 度量，所以一个好的估计量  ，不仅仅应该是待估参数  的无偏估计，而且应该有尽可能小 的方差。因此，若参数  有两个无偏估计量  1  和  2  ，且对一切  ∈  有 D（  1  ）≤D（  1  ）， 则作为的  估计，  1  比  2  好。 定义 6.3 若参数有两个偏估计  1  和  2  ，且对一切  ∈  有 D（  1  ）≤D（  1  ），则 称估计  1  比  2  有效。 在例 6.6 中知道  的极大似然估计  L  =  (n) ，显然它不是  的无偏估计，但是当 n →  时，E  L  → ，所以  L  是  的一个渐近无偏估计。  L  的方差 D（  L  ）= 2 ( 1)( 2)  n + n + n 若我们令   L  = n n +1 L   。显然   L  是  的无偏估计，其方差 D（ *  L  ）= D ) 1 ( L n n  +  = 2 ( 2) 1  n n + 由此得出，当 n≥2 时，无偏估计 *  L  比  L  无偏估计有效。 我们自然有这样一个想法，就是希望估计量的方差愈小愈好。那么能够小到什么程度 呢？也就是有没有下界？什么条件下方差下界存在？下面我们就来讨论建立一个方差下界 的罗—克拉美不等式。 罗—克拉美不等式 设  1 ， 2 ，…，  n 为取自具有概率函数 f (x； ) ， ∈  ={a<  <b}的母体  的一个子样，a, b 为已知常数，可以设 a =– ，b= 。又  =u （  1 ，…，  n ） g( ) 是的一个无偏估计，且满足正则条件： （1）集合 x; f (x;) 与  无关； （2） ( ) ' g  与    f (x； ) 存在，且对一切  ∈ 