7.利用∑=,证明: 111 证(1)由∑=可得 2n)2 所以 l11 石n2(2m)262412 (2)1++ 7=n点(2m=624-8° 8.求sinx全部非零零点的倒数的平方和。 解sinx全部非零零点为{±丌,±2丌,…,±nr…},所以其倒数的平方和为 n=f(n m=(-nT) 9.证明下列关系式 对0<x<2n且a≠0,有 Te=(e2ax-1y 28 acos nx a+n 2)对0<x<2z且a不是自然数,有 asin 2ar cos nx +n(cos 2aT-Dsinnx Z COAx= (3)对(2),令x=丌,有 =1+2a SInan7．利用∑ ∞ = = 1 2 2 6 1 n n π ，证明： ⑴ 4 12 1 3 1 2 1 1 2 2 2 2 π − + − +" = ； ⑵ 7 8 1 5 1 3 1 1 2 2 2 2 π + + + +" = . 证 （1）由∑ ∞ = = 1 2 2 6 1 n n π 可得 2 2 2 1 1 1 1 n n (2n n ) 4 24 π ∞ ∞ = = ∑ ∑= = ， 所以 2 2 2 2 2 2 1 1 ) 1 1 1 1 1 1 2 3 4 n n n n (2 ∞ ∞ = = − + − +"= ∑ ∑− 2 2 2 6 24 12 2 π π π = − = 。 ⑵ 2 2 2 1 1 1 1 3 5 7 + + + +" 2 2 1 1 1 1 n n n n (2 ) ∞ ∞ = = = − ∑ ∑ 2 2 6 24 8 2 π π π =−= 。 8. 求sin x 全部非零零点的倒数的平方和。 解 sin x 全部非零零点为{ , ± ± π 2π ,",±nπ ,"}，所以其倒数的平方和为 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 n n ( ) n n π π ( ) π n n 3 ∞ ∞ ∞ = = = + = − ∑ ∑ ∑ 2 1 = 。 9. 证明下列关系式： ⑴ 对0 < x < 2π 且a ≠ 0，有 ax π e ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = − +∑ ∞ =1 2 2 2 cos sin 2 1 (e 1) n a a n a nx n nx a π ； ⑵ 对0 < x < 2π 且a不是自然数，有 π cosax ∑ ∞ = − + − = + 1 2 2 sin 2 cos (cos 2 1)sin 2 sin 2 n a n a a nx n a nx a aπ π π ； ⑶ 对⑵，令 x = π ，有 ∑ ∞ = − − = + 1 2 2 2 ( 1) 1 2 sin n n a n a a a π π . 5