例3设丌是非空集X上的σ-代数.对任意A∈丌,若A≠,则令 (A)=+∞.另外令()=0,则是上的测度 例4设X={a1,a2,…}是可数集,(X)是X的全体子集所成的-代数.又设 {Pn,p≥1}是一列非负实数.在P(x)上定义 H()=0,以(A)=∑P,A∈只(X 容易验证H是P(X)上的测度.特别地,当Pn=1(n≥1)时, A中元素的个数当A是有限集, (A)= 当A是无限集 此时称μ为X上的计数测度.特别地,若取X=N为自然数集,则得到自然数集上的计 数测度 例5设丌是非空集X上的-代数,E∈.令丌={E∩A:A∈}.则是 E上的a-代数(见第一章习题第22题).若是丌上的测度.则(限制在g上)也是 丌上的测度 在§2.3将给出测度最重要的例子,即R"上的 Lebesgue测度 定理2设H是环上的测度.则p具有如下性质 (1)单调性若A,B∈且AcB,则(4)≤p(B) (2)可减性若A,B∈,ACB并且山(A)<+∞,则 (B-A)=(B)-(A) (3)次可数可加性若{A,}c并且∪A,∈,则 u(U4)≤∑(A) (4)下连续性若{4n}cR,A个并且∪A∈,则 A(UA, )=lim u(A,) (5)上连续性若{4}∈,A并且∩4∈R,以(4)<+,则 H(∩4)=lim(An) 证明(1)由于A∈B,故B=A∪(B-A)由于A∩(B-A)=②,由测度的有限44 例 3 设 F 是非空集 X 上 的 σ − 代 数 . 对任意 A∈F , 若 A ≠ ∅, 则 令 µ(A) = +∞ . 另外令 µ(∅) = 0, 则 µ 是F 上的测度. 例 4 设 { , , } X = a1 a2 L 是可数集, P (X ) 是 X 的全体子集所成的σ − 代数. 又设 {p , p ≥ 1} n 是一列非负实数. 在P (X ) 上定义 µ(∅) = 0, ( ) ∑ , ∈ = a A i i µ A p A∈ P (X ) . 容易验证 µ 是P (X ) 上的测度. 特别地, 当 p = 1( n ≥ 1) n 时,    + ∞ = . , ( ) . 当 是无限集 中元素的个数 当 是有限集 A A A µ A 此时称 µ 为 X 上的计数测度. 特别地, 若取 X = N 为自然数集, 则得到自然数集上的计 数测度. 例 5 设F 是非空集 X 上的σ − 代数, E ∈ F . 令F = {E ∩ A : A∈F }. E 则FE 是 E 上的σ − 代数(见第一章习题第 22 题). 若 µ 是F 上的测度. 则 µ (限制在FE 上)也是 FE 上的测度. 在 2.3 将给出测度最重要的例子, 即 n R 上的 Lebesgue 测度. 定理 2 设 µ 是环R 上的测度. 则 µ 具有如下性质: (1) 单调性. 若 A, B ∈ R 且 A ⊂ B, 则 µ(A) ≤ µ(B). (2) 可减性. 若 A, , B ∈ R A ⊂ B 并且 µ(A) < +∞, 则 µ(B − A) = µ(B) − µ(A). (3) 次可数可加性. 若{An } ⊂ R 并且 ∈ ∞ = U n 1 An R, 则 ≤ ∞ = ( ) 1 U n µ An ( ). 1 ∑ ∞ n= µ An (4) 下连续性. 若{An } ⊂ R, An ↑并且 ∈ ∞ = U n 1 An R, 则 ( ) 1 U ∞ n= µ An = lim ( ). n n µ A →∞ (5) 上连续性. 若{An } ⊂ R , An ↓并且 ∈ ∞ = I n 1 An R, ( ) , µ A1 < +∞ 则 ( ) 1 I ∞ n= µ An = lim ( ). n n µ A →∞ 证明 (1).由于 A ⊂ B, 故B = A ∪ (B − A). 由于 A ∩ (B − A) = ∅, 由测度的有限