例如若a,b,c是广义实数,则只有当b≠土∞时候,才能从a+b=c推出a=c-b.否 则会出现(±∞)-(±∞)的情况,这是没有意义的 记R'=R∪{+∞,-∞}.称R为广义实数集,它的元素称为广义实数取值于R 的序列和函数分别称为广义实数列和广义实值函数.类似于实数集的情形,可以定义广 义实数集的子集的上确界,下确界和广义实数列的极限.不同的是这里的上下确界和极 限可以取±∞为值.另外我们也允许无穷级数的和为±∞(详见附录I) 测度的定义与性质设X是一固定的非空集.本节所讨论的集都是X的子集。我们 称定义在集类上的函数为集函数 定义1设为一个环,:→D0,+∞是一个非负值集函数如果4满足如下 条件: ()=0 (i)可数可加性:对.4中的任意一列互不相交的集{An},当 UA,∈R时,成立 u(∪4)=∑u(4) 则称为上的一个测度 注1环上的测度也具有有限可加性事实上,设A1,…,An∈,则 u(∪4)=(4…uAn∪u…) =以(A1)+…+(An)+(⑦)+ (A1) 这表明μ具有有限可加性.但在一般情况下,有限可加性不能推出可数可加性 恩考题证明:若μ是环上的广义实值函数,H不恒为+∞,并且满足可数可加 性,则是上的测度 例1设={X,团}.令()=0,(X)=1.则是上的测度 例2设X是一非空集,a是X中的一个固定元对任意A∈(X),令 若a∈A, (A) 0若a∈A 则容易验证是少(X)上的测度43 例如若 a,b,c 是广义实数, 则只有当 b ≠ ±∞ 时候, 才能从 a + b = c 推出 a = c − b . 否 则会出现(±∞) − (±∞) 的情况, 这是没有意义的. 记 ∗ R = { , }. 1 R ∪ +∞ −∞ 称 ∗ R 为广义实数集, 它的元素称为广义实数. 取值于 ∗ R 的序列和函数分别称为广义实数列和广义实值函数. 类似于实数集的情形, 可以定义广 义实数集的子集的上确界, 下确界和广义实数列的极限. 不同的是这里的上下确界和极 限可以取 ± ∞ 为值. 另外我们也允许无穷级数的和为± ∞ (详见附录 II). 测度的定义与性质 设 X 是一固定的非空集. 本节所讨论的集都是 X 的子集. 我们 称定义在集类上的函数为集函数. 定义 1 设R 为一个环, µ :R → [0, + ∞] 是一个非负值集函数. 如果 µ 满足如下 条件: (i) µ(∅) = 0. (ii) 可数可加性 : 对 A 中的任意一列互不相交的集 { }, An 当 ∈ ∞ = U n 1 An R 时, 成立 ( ) ( ). 1 1 ∑ ∞ = ∞ = = n n n µ UAn µ A 则 µ 称为R 上的一个测度. 注 1 环上的测度也具有有限可加性.事实上, 设 A1 ,L, An ∈ R , 则 ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ∑= = = = + + + ∅ + = ∪ ∪ ∪ ∅ ∪ n i i n n n i i A A A A A A µ µ µ µ µ µ L L U L L 这表明 µ 具有有限可加性. 但在一般情况下, 有限可加性不能推出可数可加性. 思考题 证明: 若 µ 是环R 上的广义实值函数, µ 不恒为 + ∞ , 并且满足可数可加 性, 则 µ 是R 上的测度. 例 1 设R ={X , ∅}. 令 µ(∅) = 0, µ(X ) = 1. 则 µ 是R 上的测度. 例 2 设 X 是一非空集, a 是 X 中的一个固定元. 对任意 A∈ P (X ), 令    ∉ ∈ = 0 . 1 , ( ) a A a A A 若 若 µ 则容易验证 µ 是P (X ) 上的测度