第二章测度与测度的构造 我们知道 Riemann积分的几何意义是曲边梯形的面积为在欧氏空间空间R"上推 广 Riemann积分的理论,我们必须把象长度,面积和体积等概念推广到R"中的更一般的 集上去.本章将要定义的R”上的 Lebesgue测度就是长度,面积和体积等概念推广.由于 现代数学的许多分支需要,我们将在一般的空间上建立测度与积分的理论本章§2.1和 §2.2将要讨论一般空间上的测度的基本性质和测度的构造方法.R”上的 Lebesgue测 度虽然是一般测度的一个特例,但它在测度论中具有特别重要的地位在§2.3中将讨论 R"上的 Lebesgue测度构造方法及其性质 §2.1测度与测度的性质 教学目的给出一般空间上测度的定义,并由测度的定义推出测度的基 本性质 Lebesgue测度和 Lebesgue-Stieljes测度是本节定义的测度最重要的 特例,将在§23中介绍 本节要点本节讨论的测度是一般空间上的抽象测度应通过一些例子 是学生理解测度的意义 广义实数集在讨论测度之前,先介绍一下广义实数集测度论中讨论的函数和测度 将允许取正、负无穷为值.为此引进“+∞”和“-∞”两个符号(分别读作正无穷和负无 穷),称之为广义实数.规定它们与实数a之间的大小关系和四则运算如下 (1)序关系:-∞<a<+∞. (2)加法:a+(±)=(±∞)+a=(±∞)+(±∞)=±∞ >0 (3)乘法:a(±∞)=(±∞)a=10 ∞a<0 (4)除法 (5)绝对值:∞=+∞ 象(土∞)-(土∞)和二一等未定义的运算是无意义的,在运算中要注意避免这种情况出现42 第二章 测度与测度的构造 我们知道 Riemann 积分的几何意义是曲边梯形的面积. 为在欧氏空间空间 n R 上推 广 Riemann 积分的理论, 我们必须把象长度, 面积和体积等概念推广到 n R 中的更一般的 集上去. 本章将要定义的 n R 上的 Lebesgue 测度就是长度, 面积和体积等概念推广. 由于 现代数学的许多分支需要, 我们将在一般的空间上建立测度与积分的理论. 本章 2.1 和 2.2 将要讨论一般空间上的测度的基本性质和测度的构造方法. n R 上的 Lebesgue 测 度虽然是一般测度的一个特例, 但它在测度论中具有特别重要的地位. 在 2.3 中将讨论 n R 上的 Lebesgue 测度构造方法及其性质. 2.1 测度与测度的性质 教学目的 给出一般空间上测度的定义,并由测度的定义推出测度的基 本性质.Lebesgue 测度和 Lebesgue-Stieljes 测度是本节定义的测度最重要的 特例, 将在 2.3 中介绍. 本节要点 本节讨论的测度是一般空间上的抽象测度.应通过一些例子, 是学生理解测度的意义. 广义实数集 在讨论测度之前,先介绍一下广义实数集.测度论中讨论的函数和测度 将允许取正 负无穷为值.为此引进 + ∞ ”和 − ∞ ”两个符号(分别读作正无穷和负无 穷),称之为广义实数.规定它们与实数a 之间的大小关系和四则运算如下: (1) 序关系: − ∞ < a < +∞. (2) 加法: a + (±∞) = (±∞) + a = (±∞) + (±∞) = ±∞. (3) 乘法:     ∞ < = ± ∞ > ⋅ ±∞ = ±∞ ⋅ = 0. 0 0 0 ( ) ( ) a a a a a m (4) 除法: = 0. ± ∞ a (5) 绝对值: ± ∞ = +∞. 象(±∞) − (±∞) 和 ± ∞ ± ∞ 等未定义的运算是无意义的, 在运算中要注意避免这种情况出现