§12映射可数集与基数 教学目的继续介绍集合论的基础内容,如映射,基数,可数集与不 可数集等 本节要点一一对应的思想与方法贯穿本节的核心基数的概念可数 集的讨论都要用的一一对应的方法证明两个不同的集对等,从而具有相 同的基数,特别地,要证明一个集是可数集,有时需要一定的技巧,因而 具有一定的难度,通过较多的例题和习题,使学生逐步掌握其方法和技巧 映射在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉.在数学分析中函数的定义域通常是 R"的子集,值域是实数集或者复数集.若将函数的定义域和值域换成一般的集,就得到映 射的概念 定义1设X,Y是两个非空集.∫是某一法则,使得按照这个法则,对每个x∈X,有 唯一的的y∈Y与之对应,则称∫为从X到Y的映射,记为 当y与x对应时,称y为x在映射∫下的像,记为y=f(x).称X为∫的定义域 在上述定义中,若Y是实数集或复数集,习惯上仍称∫为函数 设A为X的子集.称Y的子集 {y:存在x∈A,使得y=f(x)} 为A在映射∫下的像,记为∫(A)特别地,称f(X)为∫的值域.设B是Y的子集称X 的子集 {x:f(x)∈B} 为集B在映射∫下的原像,记为f-(B) 在数学分析课程中研究的函数当然是一种映射.除此之外,我们还经常会遇到许多其 它的映射.例如,定积分可以看作是可积函数集到实数集的映射,求导运算可以看作是可导 函数集到函数集的映射,线性代数中的线性变换就是线性空间到线性空间的映射等 设∫X→Y是X到Y的映射.若f(X)=F,则称∫为到上的(或满射)若当 x1≠x2时,f(x1)≠f(x2),则称∫是一一的(或单射)如果∫是X到Y的一一的到上的 映射,有时我们称∫是X与Y之间的一个一一对应 77 §1.2 映射 可数集与基数 教学目的 继续介绍集合论的基础内容, 如映射, 基数, 可数集与不 可数集等. 本节要点 一一对应的思想与方法贯穿本节的核心.基数的概念.可数 集的讨论,都要用的一一对应的方法.证明两个不同的集对等, 从而具有相 同的基数, 特别地, 要证明一个集是可数集, 有时需要一定的技巧, 因而 具有一定的难度, 通过较多的例题和习题, 使学生逐步掌握其方法和技巧. 映射 在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉. 在数学分析中函数的定义域通常是 n R 的子集, 值域是实数集或者复数集. 若将函数的定义域和值域换成一般的集, 就得到映 射的概念. 定义 1 设 X, Y 是两个非空集. f 是某一法则，使得按照这个法则, 对每个 x ∈ X, 有 唯一的的 y ∈Y 与之对应, 则称 f 为从 X 到Y 的映射, 记为 f : X → Y. 当 y 与 x 对应时, 称 y 为 x 在映射 f 下的像, 记为 y = f (x). 称 X 为 f 的定义域. 在上述定义中, 若Y 是实数集或复数集, 习惯上仍称 f 为函数. 设 A 为 X 的子集. 称Y 的子集 {y : 存在x ∈ A, 使得y = f (x)} 为 A 在映射 f 下的像, 记为 f (A). 特别地, 称 f (X ) 为 f 的值域. 设 B 是Y 的子集. 称 X 的子集 {x : f (x) ∈ B} 为集 B 在映射 f 下的原像, 记为 ( ). 1 f B − 在数学分析课程中研究的函数当然是一种映射. 除此之外, 我们还经常会遇到许多其 它的映射. 例如, 定积分可以看作是可积函数集到实数集的映射, 求导运算可以看作是可导 函数集到函数集的映射, 线性代数中的线性变换就是线性空间到线性空间的映射等. 设 f : X → Y 是 X 到 Y 的映射. 若 f (X ) = Y, 则称 f 为到上的(或满射). 若当 1 2 x ≠ x 时， ( ) ( ), 1 2 f x ≠ f x 则称 f 是一一的(或单射). 如果 f 是 X 到Y 的一一的到上的 映射, 有时我们称 f 是 X 与Y 之间的一个一一对应