[( 2a'sin2tdt 注1三种解法各具特点 解法1技巧性强,直接利用了几何意义,而不必化为定积分。 解法2常规的方法,即 写出参数方程→套公式一计算定积分 这里主要难在第一步,写参数方程。通过解法2,给出了一种求参数方程的方法。 解法3先通过坐标旋转,将问题转化为另一个与之等价的问题,再按常规的方法计算。 Oxyz坐标系下的线积分→On坐标系下的线积分 写出参数方程→→套公式→→计算定积分 在新的坐标下,曲线有简单的参数方程。这个解法表明,可以适当地转化问题,例如作 坐标旋转,从而获得简单的参数方程。 §2第二型线面积分 例1计算曲线积分 Day+(x (1)L是球面三角形x2+y2+2=1,x>0,y>0,二>0的边界线,从球的外侧看去 L的方向为逆时针方向 (2)L是球面x2+y2+2=a2和柱面x2+y2=ax(a>0)的交线位于Oxy平面上方的部 分,从x轴上(b,0,0)(b>a)点看去,L是顺时针方向。 解(1)显然,L具有轮换对称性,且被积表达式也具有轮换对称性,将L分为三段 y L2:y2+2=1,x=0(y>0,z>0) 1,y=0(x>0 0) Day+(x-y =yh一xb=](0-x)一到0-y=4 G )dy+(3 u v v ds L [( ) 4 ] 2 1 2 2 2 = + −  3 2 0 3 3 2 a 2a sin tdt a  = − = −  注 1 三种解法各具特点： 解法 1 技巧性强，直接利用了几何意义，而不必化为定积分。 解法 2 常规的方法，即 写出参数方程 套公式 计算定积分 这里主要难在第一步，写参数方程。通过解法 2，给出了一种求参数方程的方法。 解法 3 先通过坐标旋转，将问题转化为另一个与之等价的问题，再按常规的方法计算。 Oxyz 坐标系下的线积分 Ouvw 坐标系下的线积分 写出参数方程 套公式 计算定积分 在新的坐标下，曲线有简单的参数方程。这个解法表明，可以适当地转化问题，例如作 坐标旋转，从而获得简单的参数方程。 §2 第二型线面积分 例 1 计算曲线积分  = − + − + − L I (y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 ， （1） L 是球面三角形 1 2 2 2 x + y + z = ， x  0， y  0 ， z  0 的边界线，从球的外侧看去， L 的方向为逆时针方向； （2） L 是球面 2 2 2 2 x + y + z = a 和柱面 ( 0) 2 2 x + y = ax a  的交线位于 Oxy 平面上方的部 分，从 x 轴上 (b,0,0)(b  a) 点看去， L 是顺时针方向。 解 （1）显然， L 具有轮换对称性，且被积表达式也具有轮换对称性，将 L 分为三段 L1： 1 2 2 x + y = ， z = 0 （ x  0， y  0 ） L2 ： 1 2 2 y + z = ， x = 0 （ y  0， z  0 ） L3： 1 2 2 x + z = ， y = 0 （ x  0， z  0 ） 则  = − + − + − L I (y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2  = − + − + − 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 L y z dx z x dy x y dz  = − 1 2 2 3 L y dx x dy 3 (1 ) 3 (1 ) 4 1 0 2 0 1 2 = − − − = −   x dx y dy 或  = − + − + − L I (y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2