3( =3jydk+3-=2bk=3∫(1-x2)x-3」(-x)k=-4 注1这里利用轮换对称性使计算化简,都是写为某积分的3倍。它们的区别在于 第一种方法:积分表达式不变,积分化为L上的积分的3倍。 第二种方法:积分曲线L不变,积分化为表达式中第一项积分的3倍 问题1是否可化为既是L1上的积分的3倍,又是表达式中第一项积分的3倍,即 =∫(2-=2)+(x2-x2)+(x2-y)=9∫(y2-2) (2)曲线关于Ox平面对称,且方向相反 ∫2-2)=jo2-=2)+j(y2-=2)dx=0 L,y≥0 同理(x2-y2)=J(x2-y)k=∫(x2-y)=0 故=[(y2-=2) d+(x2-y2)z=( 下面求曲线L的参数方程 方法1利用球面的参数方程 x=acos0sin y=asin Osin g, == acos o 代入柱面方程x2+y2=ax得snφ=cos,于是得L的参数方程 x=acos 6, y=asin 8 cos =asnO,从到-z 方法2利用柱面的参数方程x cosb,y=sn6,代入球面方程 x2+y2+z2=a2,得L的参数方程 6 sn|,从2丌到0 不妨取方法1中的参数方程进行计算, I=Je2-x2)dy=a(sin20-cos'"](cos20-sin20)de a'[[-cos20-cos01(2cos20-1)de )d04  = − L 3 (y z )dx 2 2    = + + − 1 2 3 3( )( ) 2 2 L L L y z dx   = + − 1 3 2 2 3 3 L L y dx z dx 3 (1 ) 3 (1 ) 4 1 0 2 0 1 2 = − − − = −   x dx x dx 注 1 这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的 3 倍。它们的区别在于 第一种方法：积分表达式不变，积分化为 L1 上的积分的 3 倍。 第二种方法：积分曲线 L 不变，积分化为表达式中第一项积分的 3 倍。 问题 1 是否可化为既是 L1 上的积分的 3 倍，又是表达式中第一项积分的 3 倍，即  = − + − + − L I (y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2  = − 1 9 ( ) 2 2 L y z dx （2）曲线关于 Ozx 平面对称，且方向相反  − L (y z )dx 2 2   = − , 0 2 2 ( ) L y y z dx   + − = , 0 2 2 ( ) 0 L y y z dx 同理  − L (x y )dz 2 2   = − , 0 2 2 ( ) L y x y dz ( ) 0 , 0 2 2 = − =  L y x y dz 故  = − + − + − L I (y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2  = − L (z x )dy 2 2 下面求曲线 L 的参数方程。 方法 1 利用球面的参数方程 x = a cos sin  ， y = asin  sin  ， z = a cos ， 代入柱面方程 x + y = ax 2 2 得 sin  = cos ，于是得 L 的参数方程  2 x = a cos ， y = asin  cos ， z = a |sin  | ，  从 2  到 2  − 方法 2 利用柱面的参数方程 cos 2 2 a a x = + ， sin  2 a y = ，代入球面方程 2 2 2 2 x + y + z = a ，得 L 的参数方程 cos 2 2 a a x = + ， sin  2 a y = ， | 2 |sin  z = a ，  从 2 到 0 不妨取方法 1 中的参数方程进行计算，  = − L I (z x )dy 2 2  − = − − / 2 / 2 2 2 4 2 2 [sin cos ] (cos sin )   a   a   d  = − − − 0 / 2 3 2 4 2 2 [1 cos cos ](2cos 1)  a    d  = − − + − − / 2 0 3 2 4 6 2 ( 1 3cos cos 2cos )  a    d