厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn 第六章特征值 §6.4特征值的估计 教学目的和要求了解关于矩阵特征值估计的第一圆盘定理和第二圆盘定理. 实际应用中常需要考虑矩阵的特征值是否在单位圆内或者特征值的实部是否小 于零等问题 第一圆盘定理设A∈Cx",A=(a1)nxm,则A的特征值必在下列圆盘(称戈 氏圆盘)中 2-ad|≤∑|al,1≤i≤n 证明设λ是A的特征值,X=(x1,x2,…,xn)为相应特征向量,则AX=AX 改写成线性方程组形式即为 alC1+a12C2+.+alnIn= Acl a21C1+a22C2+.+a2nIn= Ax2 an1C1+an2.22+.+annEn= AIn 对X,存在,使得|xl|=max1sysn|x,显然x;≠0.取上述线性方程组的第i个方 程,适当移项后再取绝对值,得 (-a4)l=∑叫≤∑l≤∑lz 而x1≠0,因此|-al≤∑a口 1.0-0.1-0.2-1.0 例1估计下列矩阵特征值的范围,其中A 3.0-0.21.1 0.10.1-4.00.2 0.20.20.0 解所求圆盘为D1:|z-1≤1.3,D2:|z-3≤1.4,D3:|z+4≤0.4 2≤b&3G = IP G 59.77.1.116; 7e gdjpkc.xmu.edu.cn kln mop §6.4 BF8C Vb\QU ^ XI:4LA BF8C!)9j#R<!*9j#R
|F01K $'N\LA BF.;9hA? BF|. 4Z
Ref℄SY z A ∈ C n×n , A = (aij )n×n, < A  BF;Y9j (Æ5
9j) K |z − aii| ≤ X j6=i |aij |, 1 ≤ i ≤ n. g[ z λ  A  BF￾X = (x1, x2, · · · , xn) ′ 0 BW￾< AX = λX, 1 #,O"~B    a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = λx1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = λx2 · · · an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = λxn . & X, ; i, } |xi | = max1≤j≤n|xj |, t xi 6= 0. rx#,O! i 6, ￾￾+?:rM&F￾ |(λ − aii)xi | = | X j6=i aijxj | ≤ X j6=i |aij ||xj | ≤ X j6=i |aij ||xi |, ) xi 6= 0, / |λ − aii| ≤ P j6=i |aij |. 2 Z 1 8CYLA BF+￾lK A =   1.0 −0.1 −0.2 −1.0 0.1 3.0 −0.2 1.1 0.1 0.1 −4.0 0.2 −1.0 0.2 0.2 0.0   . W o9j D1 : |z − 1| ≤ 1.3, D2 : |z − 3| ≤ 1.4, D3 : |z + 4| ≤ 0.4, D4 : |z| ≤ 1.4. 1