《现代控制理论基础》第五章(讲义) 考虑如下线性定常自治系统 (5.3) 式中,x∈R,A∈Rm。假设A为非奇异矩阵,则有唯一的平衡状态x。=0,其 平衡状态的稳定性很容易通过 Lyapunov第二法进行研究 对于式(5.3)的系统,选取如下二次型 Lyapunov函数,即 式中P为正定 Hermite矩阵(如果x是实向量,且A是实矩阵,则P可取为正定 的实对称矩阵)。 (x)沿任一轨迹的时间导数为 x+ p =(Ax)"Px+x"PAx =xA Px+x Pax =x"(A" P+PA)x 由于(x)取为正定,对于渐近稳定性,要求(x)为负定的,因此必须有 V(x)=-x"Ox 式中 O=-(A"P+PA) 为正定矩阵。因此,对于式(5.3)的系统,其渐近稳定的充分条件是Q正定。为 了判断mXn维矩阵的正定性,可采用赛尔维斯特准则,即矩阵为正定的充要条件 是矩阵的所有主子行列式均为正值。 在判别(x)时,方便的方法,不是先指定一个正定矩阵P,然后检查Q是否 也是正定的,而是先指定一个正定的矩阵Q,然后检查由 A P+PA=-O 确定的P是否也是正定的。这可归纳为如下定理 定理5.6线性定常系统x=Ax在平衡点x。=0处渐近稳定的充要条件是:对于 vQ>0,彐P>0,满足如下 Lyapunov方程 aP+PA=-O 这里P、Q均为 Hermite矩阵或实对称矩阵。此时, Lyapunov函数为 V(x)=x Px, V(x)=-x Oy 特别地,当(x)=-x2Qx≠0时,可取Q≥0(正半定)。 现对该定理作以下几点说明: (1)如果系统只包含实状态向量x和实系统矩阵A,则 Lyapunov函数xP《现代控制理论基础》第五章(讲义) 14 考虑如下线性定常自治系统 x  = Ax (5.3) 式中， n n n x R A R   ,  。假设 A 为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态 xe = 0 ，其 平衡状态的稳定性很容易通过 Lyapunov 第二法进行研究。 对于式(5.3)的系统，选取如下二次型 Lyapunov 函数，即 V x x Px H ( ) = 式中 P 为正定 Hermite 矩阵（如果 x 是实向量，且 A 是实矩阵，则 P 可取为正定 的实对称矩阵）。 V (x) 沿任一轨迹的时间导数为 x A P PA x x A Px x PAx Ax Px x PAx V x x Px x Px H H H H H H H H H ( ) ( ) ( ) = + = + = + =  +   由于 V (x) 取为正定，对于渐近稳定性，要求  V(x) 为负定的，因此必须有 V x x Qx H  ( ) = − 式中 Q (A P PA) H = − + 为正定矩阵。因此，对于式(5.3）的系统，其渐近稳定的充分条件是 Q 正定。为 了判断 nn 维矩阵的正定性，可采用赛尔维斯特准则，即矩阵为正定的充要条件 是矩阵的所有主子行列式均为正值。 在判别  V(x) 时，方便的方法，不是先指定一个正定矩阵 P，然后检查 Q 是否 也是正定的，而是先指定一个正定的矩阵 Q，然后检查由 A P PA Q H + = − 确定的 P 是否也是正定的。这可归纳为如下定理。 定理 5.6 线性定常系统 x  = Ax 在平衡点 xe = 0 处渐近稳定的充要条件是：对于 Q  0， P  0 ，满足如下 Lyapunov 方程 A P PA Q H + = − 这里 P、Q 均为 Hermite 矩阵或实对称矩阵。此时，Lyapunov 函数为 V x x Px H ( ) = ，V x x Qx H  ( ) = − 特别地，当 V(x) = −x Qx  0  H 时，可取 Q  0 (正半定)。 现对该定理作以下几点说明： (1) 如果系统只包含实状态向量 x 和实系统矩阵 A，则 Lyapunov 函数 x Px H