《现代控制理论基础》第五章(讲义) 2f1(x)1+f2(x2) 由克拉索夫斯基定理可知,如果F(x)是负定的,则所考虑系统的平衡状态 x=0是大范围渐近稳定的。因此,若 f(x1)<0,对所有x1≠0 4af(x1)-[1+/2(x2)>0,对所有x1≠0,x2≠0 则平衡状态x.=0是大范围渐近稳定的。 这两个条件是渐近稳定性的充分条件。显然,由于稳定性条件完全与非线性 函数f1(x)和f2(x)的实际形式无关,所以上述限制条件是不适当的。 5.4线性定常系统的 Lyapunov稳定性分析 5.4.1引言 前已指出, Lyapunov第二法不仅对非线性系统,而且对线性定常系统、线 性时变系统,以及线性离散系统等均完全适用。 利用 Lyapunov第二法对线性系统进行分析,有如下几个特点 (1)都是充要条件,而非仅充分条件 (2)渐近稳定性等价于 Lyapunov方程的存在性 (3)渐近稳定时,必存在二次型 Lyapunov函数(x)=xPx及(x)=-xOx; (4)对于线性自治系统,当系统矩阵A非奇异时,仅有唯一平衡点,即原点 (5)渐近稳定就是大范围渐近稳定,两者完全等价。 众所周知,对于线性定常系统,其渐近稳定性的判别方法很多。例如,对于 连续时间定常系统文=Ax,渐近稳定的充要条件是:A的所有特征值均有负实部, 或者相应的特征方程-4=s"+a15+…+anS+an=0的根具有负实部。但 为了避开困难的特征值计算,如 Routh- -Hurwitz稳定性判据通过判断特征多项式 的系数来直接判定稳定性, Nyquist稳定性判据根据开环频率特性来判断闭环系 统的稳定性。这里将介绍的线性系统的 Lyapunov稳定性方法,也是一种代数方 法,也不要求把特征多项式进行因式分解,而且可进一步应用于求解某些最优控 制问题。 5.42线性定常系统的 Lyapunov稳定性分析《现代控制理论基础》第五章(讲义) 13       + + = f x a f x f x 1 ( ) 2 2 ( ) 1 ( ) 2 ' 2 2 ' 1 2 ' 1 由克拉索夫斯基定理可知，如果  F(x) 是负定的，则所考虑系统的平衡状态 x = 0 是大范围渐近稳定的。因此，若 ( 1 ) 0 ' f 1 x  ，对所有 x1  0 4 ( ) [1 ( )] 0 2 2 ' 1 2 ' af1 x − + f x  ，对所有 x1  0 ， x2  0 则平衡状态 xe = 0 是大范围渐近稳定的。 这两个条件是渐近稳定性的充分条件。显然，由于稳定性条件完全与非线性 函数 ( ) 1 f x 和 ( ) 2 f x 的实际形式无关，所以上述限制条件是不适当的。 ------------------------------------------------------------------ 5.4 线性定常系统的 Lyapunov 稳定性分析 5.4.1 引言 前已指出，Lyapunov 第二法不仅对非线性系统，而且对线性定常系统、线 性时变系统，以及线性离散系统等均完全适用。 利用 Lyapunov 第二法对线性系统进行分析，有如下几个特点： (1) 都是充要条件，而非仅充分条件； (2) 渐近稳定性等价于 Lyapunov 方程的存在性； (3)渐近稳定时，必存在二次型 Lyapunov 函数 V x x Px H ( ) = 及 V x x Qx H  ( ) = − ； (4) 对于线性自治系统，当系统矩阵 A 非奇异时，仅有唯一平衡点，即原点 xe = 0 ； (5) 渐近稳定就是大范围渐近稳定，两者完全等价。 众所周知，对于线性定常系统，其渐近稳定性的判别方法很多。例如，对于 连续时间定常系统 x  = Ax ，渐近稳定的充要条件是：A 的所有特征值均有负实部， 或者相应的特征方程 1 0 1 − = + 1 + + − + = − n n n n sI A s a s  a s a 的根具有负实部。但 为了避开困难的特征值计算，如 Routh-Hurwitz 稳定性判据通过判断特征多项式 的系数来直接判定稳定性，Nyquist 稳定性判据根据开环频率特性来判断闭环系 统的稳定性。这里将介绍的线性系统的 Lyapunov 稳定性方法，也是一种代数方 法，也不要求把特征多项式进行因式分解，而且可进一步应用于求解某些最优控 制问题。 5.4.2 线性定常系统的 Lyapunov 稳定性分析