集类 教学目的本节继前面两节之后,从另一侧面继续介绍与一般集相关的基 础知识。本节给出几种在测度论中常见集类.介绍了本节集类的知识后将可 以有效简化测度论若干定理的证明 本节要点本节介绍了在测度论常见的几种集类如环代数和σ-代数等 本节介绍的集类较多,应注意理清各个集类之间的相互关系.与-代数相 关的概念及其应用是本节的重点 集类设X为一固定的非空集.以X的一些子集为元素的集称为X上的集类.集类一般 用花体字母如4,B,C等表示例如,由直线R上开区间的全体所成的集就是R上的 个集类.本节若无特别申明,均设所考虑的集类都是X上的集类 在测度论中经常要用到具有某些运算封闭性的集类.对集类要求不同的运算封闭性就 得到不同的集类.本节介绍常见的几种集类,主要包括半环,环,代数和σ-代数.这几种集 类对运算封闭性的要求一个比一个强 I半环与环 定义1设C是一集类,若C满足条件 (1)∈C (2)若A,B∈C,则A∩B∈C 3)若A,B∈C,则存在C中有限个互不相交的集C1,…Cn,使得 A-B=UC, 则C称为半环 例1设C={(an,b]:-∞<a≤b<+∞}是直线上左开右闭有界区间的全体则C是 个半环 定义2设是一个非空集类.若对并运算和差运算封闭,则称为环 定理3设是一个非空集类.则 (1)若对不相交并和差运算封闭,则咒是环 (2)若界是一个环.则⑧∈并且对交运算封闭 证明由于A∪B=A∪(A-B),故集的并可以通过差运算和不相交并运算得到.因18 § 1.3 集 类 教学目的 本节继前面两节之后,从另一侧面继续介绍与一般集相关的基 础知识. 本节给出几种在测度论中常见集类. 介绍了本节集类的知识后,将可 以有效简化测度论若干定理的证明. 本节要点 本节介绍了在测度论常见的几种集类,如环,代数和σ -代数等. 本节介绍的集类较多, 应注意理清各个集类之间的相互关系. 与σ -代数相 关的概念及其应用是本节的重点. 集类 设 X 为一固定的非空集. 以 X 的一些子集为元素的集称为 X 上的集类. 集类一般 用花体字母如 A ,B ,C 等表示. 例如, 由直线 1 R 上开区间的全体所成的集就是 1 R 上的一 个集类. 本节若无特别申明, 均设所考虑的集类都是 X 上的集类. 在测度论中经常要用到具有某些运算封闭性的集类. 对集类要求不同的运算封闭性就 得到不同的集类. 本节介绍常见的几种集类, 主要包括半环, 环, 代数和σ -代数. 这几种集 类对运算封闭性的要求一个比一个强. I 半环与环 定义 1 设C 是一集类, 若C 满足条件 (1) ∅ ∈C (2) 若 A, B ∈C , 则A ∩ B ∈C. (3) 若 A, B ∈C , 则存在C 中有限个互不相交的集 , , , C1 " Cn 使得 . 1 ∪ n i A B Ci = − = 则C 称为半环. 例 1 设C = {(a,b]: −∞ < a ≤ b < +∞}是直线上左开右闭有界区间的全体. 则C 是一 个半环. 定义 2 设R 是一个非空集类. 若R 对并运算和差运算封闭, 则称R 为环. 定理 3 设R 是一个非空集类. 则 (1) 若R 对不相交并和差运算封闭, 则R 是环. (2) 若R 是一个环. 则∅ ∈ R 并且R 对交运算封闭 证明 由于 A∪ B = A∪(A− B), 故集的并可以通过差运算和不相交并运算得到. 因