第二章多元函数微分法 能无解;即使这个方程的(x,y)构成的集合不是空集,那么由这个方程 就可以确定变量x与y之间的一种对应关系,但不一定能构成函数关系, 也就是说,不一定能表示为y对于x(或者x对于y)的单值对应关系 y=y(x)。这就是所谓隐函数存在性问题 在几何上,这个问题是:设z=F(x,y是一个二元函数,在几何上是 空问中一张曲面。 首先,方程F(x,y)=0是否有解?在几何上就是:这张曲面与坐标 平面z=0是否有交? 其次,若有交,交集是否确定xoy平面上的一条曲线?如果能,这条 曲线能否表示为y=f(x)(或者x=x(y).如果不能整个地表示为 y=f(x)(或者x=x(y),那么这条曲线的某一部分能否表示为 y=f(x)(或者x=x(y)? 例如考察圆周C:x2+y2=1,显然,整个圆周既不能表示为 y=f(x),也不能表示为x=x(y).但是 在点(0,1)的某个邻域中的那部分曲线可以表示为y=1-x 在点10)的某个邻域中的那部分曲线可以表示为x=√1-y2 对于隐函数问题,首先有以下几个方面需要研究: 1.如何判定隐函数的存在性?它的定义域如何确定? 2.如何通过已知函数F(x,y)的性质去研究隐函数y=f(x)的性 质,如连续性,可微性等 3.如何计算隐函数的(偏)导数与(全)微分? 2-4-1隐函数求导 我们先假设隐函数存在,且可导,来讨论求导问题 若函数y=y(x),由方程F(xy)=0确定,求导之函数? 按隐函数定义有恒等式: F(x,y(x)=0→2F(x,yx) =F(x, y(x))+F(x,y(x))y(x)=0 Flx, y F'(x,y(x)) 从这是可见:函数y=y(x)可导有一个必要条件是,Fy(xy)≠0 例1已知函数y=f(x)由方程 ax+by=/x2+y2)ab是常数, 求导函数 若函数y=y(x),由方程F(G,y)=0确定,求导之函数 将y看作是x1“…,xn的函数y=y(x)=y(x1yx),对于方程 第四节隐函数微分法第二章 多元函数微分法 第四节 隐函数微分法 能无解；即使这个方程的 (x, y) 构成的集合不是空集, 那么由这个方程 就可以确定变量 x 与 y 之间的一种对应关系，但不一定能构成函数关系， 也就是说,不一定能表示为 y 对于 x (或者 x 对于 y )的单值对应关系 y = y(x) 。这就是所谓隐函数存在性问题。 在几何上,这个问题是：设 z = F(x, y) 是一个二元函数,在几何上是 空问中一张曲面。 首先，方程 F(x, y) = 0 是否有解？在几何上就是: 这张曲面与坐标 平面 z = 0 是否有交？ 其次，若有交，交集是否确定 xoy 平面上的一条曲线? 如果能,这条 曲线能否表示为 y = f (x) (或者 x = x( y) ). 如果不能整个地表示为 y = f (x) (或者 x = x( y) ),那么这条曲线的某一部分能否表示为 y = f (x) (或者 x = x( y) )? 例如考察圆周 C : + =   x y ,显然,整 个圆周既 不能表示为 y = f (x) ,也不能表示为 x = x( y) .但是 在点 (0,1) 的某个邻域中的那部分曲线可以表示为  y = −x ； 在点 (,) 的某个邻域中的那部分曲线可以表示为  x = −y . 对于隐函数问题，首先有以下几个方面需要研究: 1.如何判定隐函数的存在性？它的定义域如何确定？ 2.如何通过已知函数 F(x, y) 的性质去研究隐函数 y = f (x) 的性 质，如连续性，可微性等. 3.如何计算隐函数的（偏）导数与（全）微分？ 2-4-1 隐函数求导 我们先假设隐函数存在，且可导，来讨论求导问题. ⚫ 若函数 y = y(x), 由方程 F(x, y) = 0 确定，求导之函数？ 按隐函数定义有恒等式： F(x, y(x))  0  F(x, y(x)) = 0 dx d  Fx (x, y(x))+ Fy (x, y(x)) y (x) = 0  ( ) ( ( )) F (x y(x)) F x y x y x y x , ,    = − 从这是可见：函数 y = y(x) 可导有一个必要条件是， Fy (x, y)  0 . 例 1 已知函数 y = f (x) 由方程 ( ), , 2 2 ax + by = f x + y a b 是常数， 求导函数。 ⚫ 若函数 y y(x)  = , 由方程 F(x, y) = 0  确定，求导之函数？ 将 y 看作是 n x ,...,x 1 的函数 ( ) ( ,..., ) 1 n y = y x = y x x  ,对于方程