等价向量组:设向量组T1:a1,a2,…,ar,T2:月,月2,…,B, 若a1(i=1,,r)可由B1,月,…,B,线性表示称T可由T2线性表示; 若T与T2可以互相线性表示称T与T2等价 (1)自反性:T1与T等价 (2)对称性:T1与7等价→T2与T等价 (3)传递性:T与T2等价,T2与T等价→T与T等价 定理8向量组与它的最大无关组等价 证设向量组T的秩为r,T的一个最大无关组为T1:a1,a2,…,a, (1)T中的向量都是T中的向量→T可由T线性表示; (2)任意a∈T,当a∈T1时,a可由T线性表示; 当agT时,a1,a2,…a,a线性相关而a1,a2,…,a,线性无关 由定理2知,a可由T线性表示,故T可由T线性表示 因此,T与T等价 推论向量组的任意两个最大无关组等价 定理9向量组T1:a1,a2,…ar,向量组T2:B1,B2,…,月, 若T线性无关,且T可由T2线性表示,则rs 证不妨设a与月都是列向量,考虑向量组 T:a1,a2,…,a1,月1,B2,…,月, 易见,秩(T)≥秩(T)≥r·构造矩阵14 2．等价向量组：设向量组 T    r : , , , 1 1 2  , T    s : , , , 2 1 2  若 (i 1,2, ,r)  i =  可由    s , , , 1 2  线性表示, 称 T1 可由 T2 线性表示； 若 T1 与 T2 可以互相线性表示, 称 T1 与 T2 等价． (1) 自反性： T1 与 T1 等价 (2) 对称性： T1 与 T2 等价  T2 与 T1 等价 (3) 传递性： T1 与 T2 等价, T2 与 T3 等价  T1 与 T3 等价 定理 8 向量组与它的最大无关组等价． 证 设向量组 T 的秩为 r , T 的一个最大无关组为 T    r : , , , 1 1 2  ． (1) T1 中的向量都是 T 中的向量  T1 可由 T 线性表示； (2) 任意  T , 当  T1 时,  可由 T1 线性表示； 当  T1 时, 1 , 2 ,  , r , 线性相关, 而    r , , , 1 2  线性无关 由定理 2 知,  可由 T1 线性表示．故 T 可由 T1 线性表示． 因此, T 与 T1 等价． 推论 向量组的任意两个最大无关组等价． 定理 9 向量组 T    r : , , , 1 1 2  , 向量组 T    s : , , , 2 1 2  ． 若 T1 线性无关, 且 T1 可由 T2 线性表示, 则 r  s ． 证 不妨设  i 与  j 都是列向量, 考虑向量组 T    r    s : , , , , , , , 1 2  1 2  易见, 秩 (T)  秩 (T )  r 1 ．构造矩阵