1、用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵 如果A可逆,则A满秩。于是A可以经过初等行变换化为对角形,即 PPn1…PA=E,则A=PPn1…PE。 于是,对单位矩阵做与把A化为标准形相同的初等行变换(由矩阵乘法和初等变换的等价 性可以知道这是可行的)就可以得到A的逆矩阵,不妨把可逆矩阵A和单位矩阵E并在 起,得到(4E),对A进行初等行变换,将其化为对角形,即得到(E|A) 同样地,将可逆矩阵和单位矩阵拼成如下形状 进行初等列变换,同样可以得到A 2、关于矩阵方程AX=B和MA=B的解法(其中A为可逆阵) a、关于矩阵方程AX=B,其中A是一个n×n矩阵,X和B是n×l矩阵 由关于群性质,可以知道X=AB,于是将A和B并排拼成一个矩阵(AB),进行初等 行变换,将A化为单位矩阵,于是可以得到(E|AB) b、关于矩阵方程XA=B,其中A是一个n×n矩阵,X和B是m×n矩阵。同样地, 我们将A和B拼为(B),可以得到方程的解BF 例设A和B为数域K上的m×n和n×s矩阵,则 r(AB)≥r(A)+(B)-n 证明存在mXm和n×n初等矩阵,使得PP2…PAQQ2…Q=D,其中D为A在 初等变换的下标准形,记S为D的秩。令P=PP…P;Q=9Q2…Q,则PQ=D。Q 和P均为满秩方阵,则 r(AB=r(PAB)=r((PAQo B=r(D(o- B)) 6. b 记QB为 hb:b b, b1、 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵 如果 A 可逆，则 A 满秩。于是 A 可以经过初等行变换化为对角形，即 P P P A E n n−1 1 = ，则 1 A P P PE n n 1 1 − = − 。 于是，对单位矩阵做与把 A 化为标准形相同的初等行变换（由矩阵乘法和初等变换的等价 性可以知道这是可行的）就可以得到 A 的逆矩阵，不妨把可逆矩阵 A 和单位矩阵 E 并在一 起，得到 ( A E| ) ，对 A 进行初等行变换，将其化为对角形，即得到 ( ) 1 E A| − ； 同样地，将可逆矩阵和单位矩阵拼成如下形状 A E       ， 进行初等列变换，同样可以得到 1 A − 。 2、关于矩阵方程 AX = B 和 XA = B 的解法（其中 A 为可逆阵） a、关于矩阵方程 AX = B ，其中 A 是一个 n n 矩阵，X 和 B 是 n l  矩阵。 由关于群性质，可以知道 1 X A B− = ，于是将 A 和 B 并排拼成一个矩阵 ( A B| ) ，进行初等 行变换，将 A 化为单位矩阵，于是可以得到 1 ( | ) E A B− ； b、关于矩阵方程 XA = B ，其中 A 是一个 n n 矩阵，X 和 B 是 m n 矩阵。 同样地， 我们将 A 和 B 拼为 A B       ，可以得到方程的解 1 BA− 。 例 设 A 和 B 为数域 K 上的 m n 和 n s 矩阵，则 r (AB)  r (A) +r (B) − n. 证明 存在 m m 和 n n 初等矩阵，使得 PP P AQ Q Q D 1 2 1 2 s t = ，其中 D 为 A 在 初等变换的下标准形，记 s 为 D 的秩。令 1 2 1 2 ; P PP P Q Q Q Q = = s t ,则 PAQ D= 。Q 和 P 均为满秩方阵，则 1 1 r AB r PAB r PAQ Q B r D Q B ( ) ( ) (( ) ) ( ( )) − − = = = ， 记 1 Q B− 为 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn b b b b b b b b b             ，则