积分变换法 积分变换在求解微分方程中最大的好处是将微分方程化为代数方程,从而可以轻易地求出函数的积分变换。 当然,求得函数的积分变换后,还得做反变换才能得到函数本身 本章以 Fourier变换为例,讨论积分变换在求解数理方程中的应用 111 Fourier变换法 9 Fourier变换 通过一些例题讨论 Fourier变换在求解数理方程中的应用。在这里我们均假设所求函数满足 Fourier变换的条件。 目例1.一维无界弦横振动的初值问题 ∞<x<o,t≥0 这个问题已在上一章用行波法求解,其解由 D'AImebert公式给出 I(x, 0)=y(x), u( x, t)=-(x-at+y(x+an]+ 解:首先,应对那一个变量做 Fourier变换? -∞<x<∞,0≤t<∞:因而,常对x做 Fourier变换 当然有时也对t做 Fourier变换,但后者需要延拓至双无穷(-∞,+∞) 对泛定方程的x变量做 Fourier变换 Flu(x, n]=ii(k, n= ux, De-ikrdx 利用微分定理:fax(x,l)=(ik)2k,1)=-k2(k,n 对初始条件做 Fourier变换 (x,0)=g(x) ∫(k,0)=列(k) a(x,0)=(x) in(k,0)=ψ(k) iu(k, n+a2k2 u(k, 0=0 定解条件变为:a(k,0)=(k) 问题退化为:给定初条的二阶线性常系数常微分方程 D(k,0) i(k, 0=A(k)ekat +B(ke-ikar 1初条:A(k) B(k)=-(k (k) (k) 故:i(k,D=-|5(k)+ elkat+-lp(k) ka11 积分变换法 积分变换在求解微分方程中最大的好处是将微分方程化为代数方程，从而可以轻易地求出函数的积分变换。 当然，求得函数的积分变换后，还得做反变换才能得到函数本身。 本章以Fourier变换为例，讨论积分变换在求解数理方程中的应用。 11.1 Fourier变换法  Fourier变换 通过一些例题讨论Fourier变换在求解数理方程中的应用。在这里我们均假设所求函数满足Fourier变换的条件。 ☺ 例 1. 一维无界弦横振动的初值问题 utt - a2 uxx = 0 -∞ < x < ∞, t ≥ 0 u(x, 0) = φ(x), ut(x, 0) = ψ(x) 这个问题已在上一章用行波法求解 ，其解由 D'Almebert 公式给出 u(x, t) = 1 2 [φ (x - a t) + φ (x + a t)] + 1 2 a x-a t x+ a t ψ(ξ) ξ 解：首先，应对那一个变量做Fourier变换 ？ -∞ < x < ∞, 0 ≤ t < ∞：因而，常对 x 做Fourier变换， 当然有时也对 t 做Fourier变换，但后者需要延拓至双无穷 (-∞, +∞)。 对泛定方程的 x 变量做Fourier变换 ： ℱ[u(x, t)] = u  (k, t) = -∞ ∞ u(x, t) - k x x 利用微分定理 ： ℱ[uxx(x, t)] = ( k)2 u  (k, t) = -k2 u  (k, t) 对初始条件做Fourier变换 ： u(x, 0) = φ(x) ut(x, 0) = ψ(x) ⟹ u  (k, 0) = φ  (k) u  t(k, 0) = ψ  (k) 定解条件变为 ： u  tt(k, t) + a2 k2 u  (k, t) = 0 u  (k, 0) = φ  (k) u  t(k, 0) = ψ  (k) 问题退化为 ：给定初条的二阶线性常系数常微分方程 ⟹ u  (k, t) = A(k)  k a t + B(k) - k a t 由初条：A(k) = 1 2 φ  (k) + ψ  (k)  k a , B(k) = 1 2 φ  (k) - ψ  (k)  k a 故：u  (k, t) = 1 2 φ  (k) + ψ  (k)  k a  k a t + 1 2 φ  (k) - ψ  (k)  k a - k a t