第6期 张怀静等：变截面连续梁动力特性的半解析解法 .593 得到阶跃连续梁的动力特性，计算时收敛误差取为 得前五阶频率如表1所示.表1中的有限元法为文 1.0×106.模态摄动法、解析解和其他文献计算所 献[6]的计算结果，计算时将每跨划分为10个单元 表1三跨连续粱的固有频率 Table 1 Natural frequencies of the three"span stepped beam rad's-1 模态阶数 求解方法 3 解析解 38.98227 47.63379 75.23519 152.09888 166.12375 有限元法[阿 38.98277 47.63408 75.23674 152.11717 166.14878 本文方法(n=13) 39.00855(5) 47.99721(4) 75.87858(5) 152.44972(7) 167.36270(5) 本文方法(n=11) 39.01612(5) 47.99751(4) 76.06531(5) 152.45680(7) 167.76442(5) 本文方法(n=9) 39.02227(5) 48.13885(4) 76.24408(5) 152.63090(7) 168.12247(5) 注：表中括号内数据为分析该颜率时的迭代次数 4.2三跨加腋梁 10个单元、中跨划分为14个单元进行有限元分析 连续梁的截面尺寸如图3所示.梁材料参数 所得的结果，以及本文的计算结果一同列于表2作 为：弹性模量E=30GN/m2,密度p=2.4Gg/m3. 比较 在进行模态摄动法计算时，将相应的等效三跨连续 k6+6 A6+6 1.0-1.6 梁的截面面积和惯性矩取为相等，等效梁的截面面 o A 积和惯性矩分别取为A=0.5m2,I=1/24m,计算 0.5 24 8 时的收敛误差取为1.0×10-6.将文献[8]采用无 A-A 图3三跨加腋梁（单位：m) 穷级数展开而得到的解，文献[6]中将两边跨划分为 Fig.3 Three-span continuous haunched beam (unit:m) 表2三跨加腋梁的固有频率 Table 2 Natural frequencies of the three"span continuous haunched beam rad.s-1 模态阶数 求解方法 1 2 3 4 5 有限元法[] 24.63008 41.84098 58.04784 99.45905 144.17334 无穷级数法[] 24.62893 41.83935 58.04443 99.45083 144.15530 本文方法(n=13) 24.64576(5) 41.88631(4) 58.06529(5) 99.79603(5) 144.48033(4) 本文方法(n=11) 24.65238(5) 41.95022(4) 58.08823(5) 99.92878(5) 144.95147(4) 本文方法(n=9) 24.72002(5) 41.98206(4) 58.09888(5) 101.65678(6) 146.35473(5) 注：表中括号内数据为分析该频率时的迭代次数 参考文献 5结语 [1]Fryba L.Vibration of Solids and Structures under Moving 采用模态摄动方法计算变截面连续梁的动力特 Loads.Netherlands:Noordhoff International Publishing.1972 性比较有效，收敛较快，通常迭代小于10次即可收 [2]Cao X Q,Liu B S,Wu P X.Structural Dynamic Analysis of 敛.同时，随着计算模态数的增加，模态摄动法的计 Bridges.Beijing:China Railw ay Press.1987 (曹雪琴，刘必胜，吴鹏贤。桥梁结构动力分析.北京：中国铁 算误差越小，这是因为模态摄动法求解体系的固有 道出版社，1987) 频率，本质上属于tz法，选取了与变截面梁密切 [3]Xia H.Zhang N.Dynamic Interaction of Vehicles and Struc- 相关的等效连续梁的主模态函数作为近似函数，因 Lures Beijing:Science Press,2002 而计算结果具有较高的精度，该方法为动力分析的 (夏禾，张楠·车辆与结构动力相互作用。北京：科学出版社， 2002) 近似计算方法，为保证前m阶频率和模态计算的精 [4]Wu JS.Dai C W.Dynamic responses of multispan nonuniform 度，模态摄动法计算时计算模态数n的选取必须大 beam due to moving load.J Struct Eng.1987.113:458 于m (下转第619页)得到阶跃连续梁的动力特性．计算时收敛误差取为 1∙0×10－6．模态摄动法、解析解和其他文献计算所 得前五阶频率如表1所示．表1中的有限元法为文 献［6］的计算结果‚计算时将每跨划分为10个单元． 表1 三跨连续梁的固有频率 Table1 Natural frequencies of the three-span stepped beam rad·s －1 求解方法 模态阶数 1 2 3 4 5 解析解 38∙98227 47∙63379 75∙23519 152∙09888 166∙12375 有限元法［6］ 38∙98277 47∙63408 75∙23674 152∙11717 166∙14878 本文方法（ n＝13） 39∙00855（5） 47∙99721（4） 75∙87858（5） 152∙44972（7） 167∙36270（5） 本文方法（ n＝11） 39∙01612（5） 47∙99751（4） 76∙06531（5） 152∙45680（7） 167∙76442（5） 本文方法（ n＝9） 39∙02227（5） 48∙13885（4） 76∙24408（5） 152∙63090（7） 168∙12247（5） 注：表中括号内数据为分析该频率时的迭代次数． 4∙2 三跨加腋梁 连续梁的截面尺寸如图3所示．梁材料参数 为：弹性模量 E＝30GN／m 2‚密度 ρ＝2∙4Gg／m 3． 在进行模态摄动法计算时‚将相应的等效三跨连续 梁的截面面积和惯性矩取为相等‚等效梁的截面面 积和惯性矩分别取为 A ＝0∙5m 2‚I＝1／24m 4‚计算 时的收敛误差取为1∙0×10－6．将文献［8］采用无 穷级数展开而得到的解‚文献［6］中将两边跨划分为 10个单元、中跨划分为14个单元进行有限元分析 所得的结果‚以及本文的计算结果一同列于表2作 比较． 图3 三跨加腋梁（单位：m） Fig．3 Three-span continuous haunched beam （unit：m） 表2 三跨加腋梁的固有频率 Table2 Natural frequencies of the three-span continuous haunched beam rad·s －1 求解方法 模态阶数 1 2 3 4 5 有限元法［6］ 24∙63008 41∙84098 58∙04784 99∙45905 144∙17334 无穷级数法［8］ 24∙62893 41∙83935 58∙04443 99∙45083 144∙15530 本文方法（ n＝13） 24∙64576（5） 41∙88631（4） 58∙06529（5） 99∙79603（5） 144∙48033（4） 本文方法（ n＝11） 24∙65238（5） 41∙95022（4） 58∙08823（5） 99∙92878（5） 144∙95147（4） 本文方法（ n＝9） 24∙72002（5） 41∙98206（4） 58∙09888（5） 101∙65678（6） 146∙35473（5） 注：表中括号内数据为分析该频率时的迭代次数． 5 结语 采用模态摄动方法计算变截面连续梁的动力特 性比较有效‚收敛较快‚通常迭代小于10次即可收 敛．同时‚随着计算模态数的增加‚模态摄动法的计 算误差越小．这是因为模态摄动法求解体系的固有 频率‚本质上属于 Ritz 法‚选取了与变截面梁密切 相关的等效连续梁的主模态函数作为近似函数‚因 而计算结果具有较高的精度．该方法为动力分析的 近似计算方法‚为保证前 m 阶频率和模态计算的精 度‚模态摄动法计算时计算模态数 n 的选取必须大 于 m． 参 考 文 献 ［1］ Fryba L． V ibration of Solids and Structures under Moving Loads．Netherlands：Noordhoff International Publishing‚1972 ［2］ Cao X Q‚Liu B S‚Wu P X．Structural Dynamic A nalysis of Bridges．Beijing：China Railway Press‚1987 （曹雪琴‚刘必胜‚吴鹏贤．桥梁结构动力分析．北京：中国铁 道出版社‚1987） ［3］ Xia H‚Zhang N．Dynamic Interaction of Vehicles and Struc￾tures．Beijing：Science Press‚2002 （夏禾‚张楠．车辆与结构动力相互作用．北京：科学出版社‚ 2002） ［4］ Wu J S‚Dai C W．Dynamic responses of multispan nonuniform beam due to moving load．J Struct Eng‚1987‚113：458 （下转第619页） 第6期 张怀静等： 变截面连续梁动力特性的半解析解法 ·593·