正在加载图片...
592 北京科技大学学报 第30卷 [(-)mA:+△mk-△]4+ =1.≠ -新)aE教ha= △(m,十△m)=4-△mi (9) 重复利用上式，可得代数方程： 空()[△()田a ([A]+△[B]){q=ip} (10) △m,(x,)=m,(xr)一m0, 式中， △EL,(x,)=El,(x,)-El,0(r=1,2,,m) [A]= 从上面公式的推导过程来看，利用模态摄动法 (-x1)m1 将复杂的微分方程求解转化为一组非线性代数方程 (-A2)m2 的求解.当m=1时，即可得到文献[11]所分析的 单跨变截面梁动力特性分析的求解方程，非线性代 数方程可用迭代法求解。在求得未知向量{q以后， 从式(T)不难得到变截面连续梁的第j阶主模态特 (hi-An)mn 性.令j=1,2,…,s,可求得截面连续梁的前s阶振 △m11△m12 △m △m1n 动模态.这样，把变系数微分方程转化为s组n阶 △m21△m22 △m2j △m2n 非线性方程组的求解 △ml△m2 △mji △Tjn 3非线性方程组的求解 根据非线性方程(10)的特点，可采用如下较为 .△mml△mn2 △m可 △Tmnr 简单迭代过程2： △k1I△k12 0… △k1司 ([A]+△-[B]){gD=p} (11) △k21△k22 0 △k2n △0=gD (12) △k1△k2 0 △kjn 迭代的初始条件设为： △λ0)=0 (13) △knl△kn2… 0 △knr 迭代终止判断可采用： [B]= |△λ0-△1-1)I/I△λ0|<e (14) m1十△m11 △m12 …0… △mln 式中，上标l表示第l迭代结果，e为收敛误差 △m21 m2十△m22…0… △m2n 4算例 △mj1 △m2 …0。… △mjn 为说明本文计算方法的精度，下面采用有关文 献中的算例对本文计算方法进行验证， △mml △mR2 …0…mn十△m 4.1三跨阶跃连续梁 gl= 图2所示三跨连续梁中，每跨均为等截面，其 qmq2… 90-)△/3 q0+1)… galT, 中中跨的抗弯刚度为边跨的2倍.梁的计算参数 ipl= 为：A=1kgm,EI=1.96GNm2.对于这样各 1△k1)-△m△k2-3△m2…△kg-△m2jT. 跨为等截面的情况，利用动刚度法可以得到两动力 其中， 特性的解析解。为验证本文方法的计算精度，在进 mi= 行模态摄动法计算时，等效等截面连续梁各跨的抗 a(e[()=空m[(✉)a 弯刚度均取为E1,以此为基础，代入式(10)中即可 EI.pA 2EI,PA EI.PA △my=△m(x)(x)9(x)dx= 20m 20m 20m 2am,()克()(d. 图2三跨阶跃梁 Fig.2 Three-span stepped beam∑ n k＝1k≠ j ［（λj－λi） miδki＋λjΔmik－Δkkj ］ qk＋ Δλj（ mjδij＋Δmij）＝Δkij－λjΔmij （9） 重复利用上式可得代数方程： （［ A］＋Δλj ［ B］）｛q｝＝｛p｝ （10） 式中 ［ A］＝ （λj－λ1） m1 （λj－λ2） m2 ⋱ λjmj ⋱ （λj－λn） mn ＋ λj Δm11 Δm12 … Δm1j … Δm1n Δm21 Δm22 … Δm2j … Δm2n … … … … … … Δmj1 Δmj2 … Δmjj … Δmjn … … … … … … Δmn1 Δmn2 … Δmnj … Δmnn － Δk11 Δk12 … 0 … Δk1n Δk21 Δk22 … 0 … Δk2n … … … … … … Δkj1 Δkj2 … 0 … Δkjn … … … … … … Δkn1 Δkn2 … 0 … Δknn ［ B］＝ m1＋Δm11 Δm12 … 0 … Δm1n Δm21 m2＋Δm22 … 0 … Δm2n … … … … … … Δmj1 Δmj2 … 0 … Δmjn … … … … … … Δmn1 Δmn2 … 0 … mn＋Δmnn ｛q｝＝ ｛q1 q2 … q（j－1） Δλ／j λj q（j＋1） … qn｝T ｛p｝＝ ｛Δk1j－λjΔm1j Δk2j－λjΔm2j … Δknj－λjΔm2j｝ T． 其中 mi＝ ∫ l 0 m（ x）［●i（ x）］ 2d x＝ ∑ m r＝1 m∫r l r 0 ［●ir（ x）］ 2d x Δmij＝∫ l 0 Δm（ x）●i（ x）●j（ x）d x＝ ∑ m r＝∫1 l r 0 Δmr（ x）●ir（ x）●jr（ x）d x Δkij＝∫ l 0 ●i（ x） d 2 d x 2［ΔEI（ x）●″j（ x）］d x＝ ∑ m r＝1∫ l r 0 ●ir（ x） d 2 d x 2［ΔEIr（ x）●″jr（ x）］d x Δmr（ x r）＝ mr（ x r）－ mr0 ΔEIr（ x r）＝ EIr（ x r）－ EIr0 （ r＝12…m）． 从上面公式的推导过程来看利用模态摄动法 将复杂的微分方程求解转化为一组非线性代数方程 的求解．当 m＝1时即可得到文献［11］所分析的 单跨变截面梁动力特性分析的求解方程．非线性代 数方程可用迭代法求解．在求得未知向量｛q｝以后 从式（7）不难得到变截面连续梁的第 j 阶主模态特 性．令 j＝12…s可求得截面连续梁的前 s 阶振 动模态．这样把变系数微分方程转化为 s 组 n 阶 非线性方程组的求解． 3 非线性方程组的求解 根据非线性方程（10）的特点可采用如下较为 简单迭代过程［12］： （［ A］＋Δλ（ l－1） i ［ B］）｛q （ l）｝＝｛p｝ （11） Δλ（ l） i ＝λiq （ l） i （12） 迭代的初始条件设为： Δλ（0） i ＝0 （13） 迭代终止判断可采用： ｜Δλ（ l） i －Δλ（ l－1） i ｜／｜Δλ（ l） i ｜＜e （14） 式中上标 l 表示第 l 迭代结果e 为收敛误差． 4 算例 为说明本文计算方法的精度下面采用有关文 献中的算例对本文计算方法进行验证． 图2 三跨阶跃梁 Fig．2 Three-span stepped beam 4∙1 三跨阶跃连续梁 图2所示三跨连续梁中每跨均为等截面．其 中中跨的抗弯刚度为边跨的2倍．梁的计算参数 为：ρA＝1kg·m －1EI＝1∙96GN·m 2．对于这样各 跨为等截面的情况利用动刚度法可以得到两动力 特性的解析解．为验证本文方法的计算精度在进 行模态摄动法计算时等效等截面连续梁各跨的抗 弯刚度均取为 EI以此为基础代入式（10）中即可 ·592· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷