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第6期 张怀静等：变截面连续梁动力特性的半解析解法 .591. a2「 x(x.D arEI(x) +PA(x) a2y(x,=0 0,2 /m0w2 a,kl,=lr EIxo (1) i,=EI,o/l, 式中，EI(x)为梁的抗弯刚度，A(x)为沿梁方向长 通过求解频率方程(5)可得各阶特征值入= 截面的变化情况，y(x,t)为梁的横向位移，P为梁 ,则第r跨梁第j阶模态可表示为： 的密度 El(x)2 Elx)r El.(x m El(x)m+1 _MC,一 (x)=B,一El,k品 pA,)&pAc)点pA)ApA.a L g房-1.2m-12网 (6) 图1变截面连续梁计算模型 式中，x,∈[0,4，]，M(+=i[Fr9.+ Fig.I Schematic of the non uniform continuous beam H,+l小0n=-产[，号+，小 采用分离变量法，梁的振动主模态函数中和特征值 入可表示为： 与一 2「 ax2 EI(x) d 十m(x)=0 (2) Bk=2(shkx十sinkx),Ca=2(chkx一coskx), 式中，m(x)=PA(x)·对于多跨连续梁，当各跨分 Dkx=2(shkx一sinkx) 别是等截面时，采用动刚度矩阵法、三弯矩法和三转 角法等都可方便地获得梁的精确频率和振型，为 2模态摄动法基本理论 此，在求解式(2)之前，先建立与变截面连续梁相对 对于任意变截面梁，求解式(2)的解析解通常是 应的各跨均为等截面的等效连续梁模型，即令 很困难的，常采用近似分析方法，本文应用模态摄 1 。m,(x)dx 动法，利用等效等截面连续梁的计算结果，形成一个 (r=1,2,…,m)(3) 求解式(2)的较简单的方法，模态摄动法的基本思 E1,0= 想是把式(2)所表征的变截面连续梁看成是式(4)所 表示的等效等截面连续梁经过参数修改后得到的新 则等效梁的主模态函数控制方程可表示为： 系统，这个新系统主模态函数及特征值可以利用等 d小-m0(x)=0(=1,2,…,m） ELo dx 效梁系统的模态特征进行简单的摄动分析而近似地 (4) 求得，即设 当采用三转角法计算式(4)的动力特性时，以结 入=入十△入 (x)=(x)十△(x) (7) 点1的转角91为初参数，并令9=1，则两端简支 连续梁的频率方程可表示为]： 其中，入=，主模态函数的修正量△$为除$外， Hm-19m-1十Fm-19m=0 (5) 等截面连续梁其他保留主模态函数的线性组合，即 式中，9，表示节点r(r=1,2,…,m)的转角，不同节 △(x)产之(x)张 (8) k=1,≠j 点的转角可以采用递推公式进行计算，即： 从理论上讲，式(8)中的梁有无穷多个主模态， 41=W,9- 即式(8)中的n应为∞，但在实际计算时可取有限 个低阶模态进行近似计算.因此，在求得△入，k(k= S,=i,H,, 1,2,,n,k≠j)这n个未知数后，代入式(7)即可 求得变截面连续梁的第j阶特征值入及对应的主 模态函数$(x)将式(7)代入式(2)，并在方程两边 E,=in coh。sinh o。, 乘以(x)(=1,2,…n),然后沿全长积分，可得： 1-cos a,cosh a, =品∂2 ∂x 2 EI（ x） ∂2 y（ xt） ∂x 2 ＋ρA （ x） ∂2 y（ xt） ∂t 2 ＝0 （1） 式中EI（ x）为梁的抗弯刚度A （ x）为沿梁方向长 截面的变化情况y（ xt）为梁的横向位移ρ为梁 的密度． 图1 变截面连续梁计算模型 Fig．1 Schematic of the non-uniform continuous beam 采用分离变量法梁的振动主模态函数 ●和特征值 λ可表示为： ∂2 ∂x 2 EI（ x） d 2● d x 2 ＋λm（ x）●＝0 （2） 式中m（ x）＝ρA （ x）．对于多跨连续梁当各跨分 别是等截面时采用动刚度矩阵法、三弯矩法和三转 角法等都可方便地获得梁的精确频率和振型．为 此在求解式（2）之前先建立与变截面连续梁相对 应的各跨均为等截面的等效连续梁模型即令 mr0 ＝ 1∫lr l r 0 mr（ x）d x EIr0 ＝ 1∫lr l r 0 EIr（ x）d x （ r＝12…m）（3） 则等效梁的主模态函数控制方程可表示为： EIr0 d 4●（ x r） d x 4 －λmr0●（ x r）＝0 （ r＝12…m） （4） 当采用三转角法计算式（4）的动力特性时以结 点1的转角 φ1 为初参数并令 φ1＝1则两端简支 连续梁的频率方程可表示为［13］： Hm－1φm－1＋Fm－1φm＝0 （5） 式中φr 表示节点 r（ r＝12…m）的转角不同节 点的转角可以采用递推公式进行计算即： φr＋1＝ W rφr－ Sr－1 Sr Hr Sr＝ irHr W r＝－ 1 Hr ir－1 ir Fr－1＋F r Fr＝ sinαrcoshαr－sinhαrcosαr 1－cosαrcoshαr αr Hr＝ sinhαr－sinαr 1－cosαrcoshαr αr αr＝krlr＝ lr 4 mr0ω2 EIr0 ir＝ EIr0／lr． 通过求解频率方程（5）可得各阶特征值 λj ＝ ω2 j则第 r 跨梁第 j 阶模态可表示为： ●j（ x r）＝ φjr kjr Bk jr x r－ Mj（ rr＋1） EIrk 2 jr Ck jr x r－ Qj（ rr＋1） IErk 3 jr Dk jr x r （ r＝12…m；j＝12…∞） （6） 式 中 x r ∈ ［0 lr ］ Mj（ rr＋1） ＝ ir ［ Fjrφjr＋ Hjrφj（ r＋1） ］Qj（ rr＋1） ＝ － ir lr ［ Ljrφjr ＋ Njrφjr ］ L jr＝ sinhαjrsinαjr 1－cosαjrcoshαjr αjrNjr＝ coshαjr－cosαjr 1－cosαjrcoshαjr αjr Bkx＝ 1 2 （sh kx ＋sin kx ）Ckx ＝ 1 2 （ch kx －cos kx ） Dkx＝ 1 2 （sh kx－sin kx）． 2 模态摄动法基本理论 对于任意变截面梁求解式（2）的解析解通常是 很困难的常采用近似分析方法．本文应用模态摄 动法利用等效等截面连续梁的计算结果形成一个 求解式（2）的较简单的方法．模态摄动法的基本思 想是把式（2）所表征的变截面连续梁看成是式（4）所 表示的等效等截面连续梁经过参数修改后得到的新 系统这个新系统主模态函数及特征值可以利用等 效梁系统的模态特征进行简单的摄动分析而近似地 求得即设 λj＝λj＋Δλj ●j（ x）＝●j（ x）＋Δ●j（ x） （7） 其中λj＝ω2 j主模态函数的修正量Δ●j 为除●j 外 等截面连续梁其他保留主模态函数的线性组合即 Δ●j（ x）≅ ∑ n k＝1k≠ j ●k（ x） qk （8） 从理论上讲式（8）中的梁有无穷多个主模态 即式（8）中的 n 应为∞但在实际计算时可取有限 个低阶模态进行近似计算．因此在求得Δλjqk（k＝ 12…nk≠ j）这 n 个未知数后代入式（7）即可 求得变截面连续梁的第 j 阶特征值λj 及对应的主 模态函数●j（ x）．将式（7）代入式（2）并在方程两边 乘以 ●i（ x）（ i＝12… n）然后沿全长积分可得： Δλj ∑ n k＝1k≠ j （ miδik＋Δmik） qk＋ 第6期 张怀静等： 变截面连续梁动力特性的半解析解法 ·591·