在第二章第9讲我们已经知道,T是有界线性算子,现在证明T还是紧算子 设E是C[ab]中的有界集,不妨设≤M.Wx∈E,则 (s)-rx(s)=[k(s1)-k(5,)]x()d ∫)(s,)-K(s2,)|x()lt K(s,1)是连续函数,于是VE>0,30>0,当-s2<时 K(s,)-K(5,) 此时 rx()-(5)<E 这说明T(E)是等度连续的函数族 另一方面,由于T是有界线性算子,T(E)是有界集,由Anea-Asol定理,T(E)是 C[ab]中的相对紧集,T是紧算子 例3仍设K(s,)是a≤1,s≤b上的连续函数,0<a<1,考虑算子 (T×))=-J K(s,)x() d,vx∈C[ab 我们证明T仍是紧算 为此考虑函数 K(s,1),|s-1> lK(s:l,0<|s-4 和算子 (rx)(s)=「 K,( s,s(O d 这里a<B<1,容易验证积分核A(是a515≤5b上的连续函数,上例说明了是紧算 子,但由在第二章第 9 讲我们已经知道，T 是有界线性算子，现在证明T 还是紧算子. 设 E 是C ab [ , ] 中的有界集，不妨设 x ≤ M . ∀x E ∈ ，则 () ( ) 12 1 2 ( ) ( ) () , , b a Tx s Tx s K s t K s t x t dt −= −   ∫   () ( ) 1 2 , , ( ) b a ≤ − K s t K s t x t dt ∫ K st ( ) , 是连续函数，于是∀ε＞0，∃δ＞0，当 1 2 s s − ＜δ 时 () ( ) ( ) 1 2 Kst Kst , , M b a ε − − ＜ ， 此时 Tx s Tx s ( ) 1 2 − ( ) ＜ε . 这说明T E( ) 是等度连续的函数族. 另一方面，由于T 是有界线性算子，T E( ) 是有界集，由 Arzela－Ascoli 定理，T E( ) 是 C ab [ , ] 中的相对紧集，T 是紧算子. 例 3 仍设 K st ( ) , 是 a ts b ≤ ≤ , 上的连续函数，0 1 ＜ ＜a ，考虑算子 ( )( ) b ( , ) ( ) a a K st x t Tx s dt s t = − ∫ ，∀ ∈x C ab [ , ] ( ) 6 我们证明T 仍是紧算子. 为此考虑函数 ( ) ( ) ( ) ,, , , , ,0 0, , n K st s t n K st n s t K st s t n s t β β  −    = − −≤    =   1 ＞ 1 ＜ , 和算子 ( )( ) b n ( , ) ( ) n a a K st x t T x s dt s t = − ∫ ，∀ ∈x C ab [ , ] 这里α＜ ＜β 1，容易验证积分核 n ( , ) a K st s t − 是 a ts b ≤ , ≤ 上的连续函数，上例说明Tn 是紧算 子，但由