则σ是有界的有限秩算子,从而是紧算子,o(.)完全有界不妨设(y)…0(ym)是 (S)的网,于是∈S…,存在y使得 U))2<2 从而 ( Vk)-V, Ok 于是当y*∈S(Y*)时,由(3),(4) y*(Tx)-y*(x)|sy*(x)-y*(2)+|y*O2)-y*Oy) y*(3-y,*(Tx) 故 甲puk(x, st yiyi 3 T(S,)是完全有界的,所以T*紧 定理6设T:X→Y是紧算子,则当xn,x∈X,x—"→x时,Txn→7x 证明1°为简单起见,设有x")0但x,不收敛于0,此时彐50>0和子序列 {x},|≥5,但{x}是有界集,{x}也是有界集,从而{x减}是相对紧集不妨 设其子列Tx→∈Y,于是126-另一方面,由于x2→→0,yer y(o)=lim(Tx,")=lim(T(n)) 由Hahn- Banach定理,y=0,矛盾 让我们给出一些紧算子的例 例2观察第一型 Fredholm积分算子T:C[ab]→C[a小 Ix(s)=k(.)x()d,切 其中K(S,1)是a≤1,S≤b上的连续函数则σ 是有界的有限秩算子，从而是紧算子， ( ) Y σ S ∗ 完全有界. 不妨设 ( 1 ) () , , m σ σ y y ∗ ∗ " 是 ( ) Y σ S ∗ 的 ε 4 网，于是 Y y S ∗ ∗ ∀ ∈ ，存在 j y ∗ 使得 2 1 2 1 ( *) ( * ) ( *( ) * ( ) ) , 4 n j k jk k y y yy y y ε σ σ = −= − < ∑ 从而 *( ) *( ) , ( 1, , ) 4 k jk yy y y k n ε − <= " （4） 于是当 y SY * ( *) ∈ 时，由（3），（4）， *( ) * ( ) *( ) *( ) *( ) *( ) j k k jk y Tx y Tx y Tx y y y y y y − ≤−+− + *( ) *( ) jk j y y y Tx − ， 故 ** * * Ty Ty − = j sup 1 ( , * * * *) x j x Ty Ty ≤ − = sup 1 ( , * *) x ≤ Tx y y − j 3 . 4 ε ≤ < ε ( ) Y T S ∗ ∗ 是完全有界的，所以T *紧. 定理 6 设TX Y : → 是紧算子，则当 , n x x X ∈ ， w n x → x 时，Tx Tx n → . 证明 1° 为简单起见，设有 0 w n x → 但 Txn 不收敛于 0，此时 0 ∃ε ＞0 和子序列 {Txnk } ， 0 k Txn ≥ ε ，但{xn} 是有界集，{xnk }也是有界集，从而{Txnk } 是相对紧集. 不妨 设其子列 0 k n Tx y Y ′ → ∈ ，于是 0 0 y ≥ ε . 另一方面，由于 0 k w n x ′ → ， y Y ∗ ∗ ∀ ∈ ， ( ) 0 lim , lim , 0 ( ) ( ( )) k k k k n n n n y y Tx y x T y ∗ ∗ ∗∗ ′ ′ ′ ′ →∞ →∞ == = ． 由 Hahn－Banach 定理， 0 y = 0 ， 矛盾. 让我们给出一些紧算子的例. 例 2 观察第一型 Fredholm 积分算子T C ab C ab :, , [ ] → [ ]， ( ) ( ) () , b a Tx s K s t x t dt = ∫ ，∀ ∈x C ab [ , ] 其中 K st ( ) , 是 a ts b ≤ ≤ , 上的连续函数